Методические указания. Вычисление направляющих косинусов вектора через его прямоугольные координаты

Вычисление направляющих косинусов вектора через его прямоугольные координаты

Основное свойство направляющих косинусов вектора

Определение 44

Направляющие косинусы вектора

Теорема 10

Связь координат вектора и проекций вектора на оси в ПДСК

Длина вектора, расстояние между точками в ПДС

Определение 43

Орт – единичный вектор, имеющий направление.

Дан вектор , тогда длина вектора:

(34)

Даны две точки , тогда расстояние между точками:

(35)

Координаты вектора ПДСК равны проекциям этого вектора на соответствующие оси координат.

z

Z

A

О Y y

Доказательство.

Приложим вектор к началу координат и построим параллелепипед на осях, параллельных прямым.

Тогда – ортогональная векторная проекция вектора на ось x: .

Здесь X – координата на оси x в базисе i. По определению X – числовое значение проекции вектора на ось x:

.

Так как плоскости взаимно перпендикулярны и перпендикулярны осям, аналогично

, .

Проекция вектора на направление

(36)

В ПДСК координаты вектора :

(37)

углы между вектором и положительными направлениями осей OX,OY,OZ соответственно.

Ортом оси OX является вектор .

Ортом оси OY является вектор .

Ортом оси OZ является вектор .

Ось - абсцисса, ось - ордината, ось - аппликата.

(38)

- направляющие косинусы вектора .

Подставим эти преобразования в равенство , получим

(39).

Условие на направляющие косинусы

(40)

. (41)

Дата добавления: 2017-01-13