Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Производные и дифференциалы функции нескольких переменных




Частной производной от функции по независимой переменной называется производная

, вычисленная при постоянном .

Частной производной по y называется производная , вычисленная при постоянном . Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пример 1. .

Рассматривая как постоянную величину , получим .

Рассматривая как постоянную величину , получим .

Пример 2.

; ;

; .

Полным приращением функции в точке называется разность , где и произвольные приращения аргументов. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке полное приращение можно представить в виде , где .

Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , то есть .

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле .

Для функции трех переменных .

При достаточно малом для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства ; , которые применяются для приближенного вычисления значения функции

. (*)

Пример 3. Вычислить приближенное значение: .

Решение. Полагая, что есть частное значение функции в точке и что вспомогательная точка будет , получим

; ; ; .

Подставляя в формулу (*), найдем:

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

; ;

; .

Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны: .

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть . Если и – независимые переменные и функция имеет непрерывные производные, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле .

Пример 4. . Найти , , .

Решение. Найдем частные производные: ; . Дифференцируя повторно, получим ;

; .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2017-01-13; Просмотров: 560; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.