Постановка задачи многокритериальной оптимизации

Предполагается, что m³2, при m=1 задача оптимизации является однокритериальной (скалярной).

Опр. 13. Задачи оптимизации, в которых имеется не одна, а несколько целевых функций (критериев), получили название многокритериальных задач оптимизации.

Критерии F_i(X), i=1,2,..., m, образуют векторный критерий F(X)=(F₁, F₂,..., F_m). Поэтому в литературе также используют термин "векторная оптимизация".

Пусть X₁ÎD, тогда

F₁(X₁) – локальная оценка решения X₁ по 1 – му критерию или критерию F₁;

F₂(X₁) – локальная оценка решения X₁ по 2 – му критерию или критерию F₂;

.

.

.

F_m(X₁) – локальная оценка решения X₁ по m – му критерию или критерию F_m;

F(X₁)=(F₁(X₁), F₂(X₁), F_m(X₁)) – векторная оценка для решения X₁.

Для пояснения сущности задач используют геометрическую интерпретацию, связанную с введением n – мерного пространства Eⁿ пространства параметров проектирования (управляемых параметров) и m – мерного пространства E^m выходных параметров. Каждой точке пространства Eⁿ и E^m соответствуют векторы X и Y значений переменных проектирования и выходных параметров соответствующего проектируемого объекта.

Следовательно, допустимой области D (образ) можно поставить в соответствие некоторое множество оценок. Это множество будем обозначать Y_D и его будем называть критериальным пространством или областью критериев (областью оценок), т.е. Y_D=F(D) – прообраз множества D.

Сформулируем задачу многокритериальной оптимизации. Она имеет вид:

min F(X) min F(X)

XÎD или

h_k(X)=0, k=1,2,..., K; (5)

g_j(X) ³ 0, j= 1,2,..., J.

Задача многокритериальной оптимизации может быть сформулирована следующим образом, например:

в квадрате D={-1£x₁ £1, -1£x₂ £1} заданы два критерия
которые желательно минимизировать.

Замечание. Символ minF(X) понимается как набор символов minF_i(X), i=1,2,..., m. Будем предполагать, что все критерии нужно минимизировать, т.к. всегда можно перейти от maxF_i(X) к min[-F_i(X)], i=1,2,..., m, т.е. сменой знака перед частным критерием.

Спрашивается, можно ли найти решение, одновременно удовлетворяющее всем этим требованиям? Со всей откровенностью ответим: нет. Решение, обращающее в минимум один какой-то показатель, как правило, не обращает ни в минимум, ни в максимум другие. Поэтому часто применяемая формулировка: "достичь максимального эффекта при минимальных затратах" представляет собой не более чем фразу и при научном анализе должна быть отброшена [стр. 44; Е.С. Вентцель. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – 2-е изд., стер. – М.: Гл. ред. физ. мат. лит., 1988. – 208 с.].

Теоретически можно представить себе случай, когда на множестве D окажется одна альтернатива (решение), в которой все m критериев принимают наименьшие значения; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществлять выбор. Как правило, критерии противоречивы, т.е. уменьшение одного критерия ведёт к увеличению других критериев.

Пример. При проектировании транзисторного элемента ЭВМ необходимо рассматривать одновременно несколько частных критериев оптимальности. Задача векторной оптимизации для данного примера имеет следующий вид:

maxF₁(X); maxF₂(X); maxF₃(X); minF₄(X); minF₅(X);

X Î D X Î D X Î D X Î D X Î D

где D – область работоспособности; F ₁(X) – нагрузочная способность; F ₂(X), F ₃(X) – помехоустойчивость; F ₄(X) – рассеиваемая мощность, F ₅(X) – среднее время задержки сигнала.

Замечание. Векторная задача (выражение (4)) представляет собой ММ проектируемого объекта (технической системы), т.е. критерий эффективности, независимые переменные, ограничения образуют ММ рассматриваемой системы (объекта).

Процесс решения задачи (5), как правило, состоит из двух этапов:

1. Находят множество решений оптимальных по Парето P Ì D;

2. Из множества P выбирают вектор , являющийся наиболее предпочтительным из всех векторов множества P и которому соответствует набор технических характеристик объекта F_i (X_opt), i=1,2,..., m.

Замечание. Дадим другую форму записи постановки задачи векторной оптимизации:

X_opt=arg minF(X)

XÎD

Таким образом, в результате решения задачи (4) мы получим вектор оптимальных параметров объекта и набор технических характеристик объекта F _i(X_opt), i=1,2,..., m.

Дата добавления: 2017-01-13