![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Формула Тейлора
Выведем уравнение касательной плоскости к поверхности. Взаимосвязь 2 форм записи уравнения касательной. Полученное выше уравнение действительно является другой формой того уравнения касательной, которое мы выводили раньше, а именно Пусть Тогда примет вид: Также можно и наоборот, в уравнении из чего следует
Теперь, когда нам известен вектор нормали к поверхности, а именно, что Это можно записать, используя более короткие обозначения: Если взять произвольную точку Тогда скалярное произведение векторов Итак, уравнение касательной плоскости:
Согласно уравнению касательной, ординату точки на касательной можно записать так:
Если изобразить график Если теперь и это слагаемое отнять от f(x), то получится
А если остановить на n-м шаге, то f будет задана приближённо с помощью многочлена n-й степени. Погрешность в этом случае можно записать в виде Если начальная точка, в окрестности которой ищется разложение на степенные функции, это
Полный вывод формулы Тейлора проводится в курсе комплексного анализа (ТФКП) так как основан на свойствах комплексных функций. Однако мы сейчас можем рассмотреть другую краткую идею доказательства. Продифференцируем равенство получим Если при этом обозначить первую производную:
Уравнение касательной - это самая короткая из формул Тейлора, это самое грубое приближение, где учтена только 1-я степень.
Примеры рядов Тейлора некоторых известных функций. Пример. Выведем эту формулу. Рассмотрим несколько производных и затем их значения в точке 0:
тогда мы и получаем, что: Вот как выглядят графики многочленов и экспоненты: Красным показан график экспоненты, зелёным - касательная, затем Как видно, уже даже для 3 степени погрешность очень мала.
Пример. Выведем эту формулу. Рассмотрим несколько производных и затем их значения в точке 0:
Далее 4 производная совпадает с
Красным цветом показан график Цифрой 2 помечен график функции Формула Тейлора для синуса выводится аналогичным образом. (подробнее эту и другие функции рассмотрим на практике).
Дата добавления: 2017-01-13; Просмотров: 533; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |