Методы вычисления обратной матрицы

Определение обратной матрицы

Обратная матрица

Свойства определителей

1) При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т.е. det A =det(A^T)

2) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на обратный.

3) При круговой перестановке строк (столбцов) определитель не изменяется.

4) Если в определителе есть две одинаковые строки (столбца), то определитель равен 0; если одна из строк (столбцов) матрицы получается из другой строки (столбца) умножением на некоторый множитель, то определитель равен 0.

5) При умножении матрицы порядка n на число l определитель умножается на l ⁿ.

6) При умножении одной строки (столбца) на числоl определитель умножается на это число.

Матрица В называется обратной для квадратной матрицы А, если AВ = ВА = Е, где Е - единичная матрица.

Обозначение: В=А ^-1

Необходимоe и достаточноe условие существования обратной матрицы: для того, чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля. Если обратная матрица существует, то она единственная.

Элементы обратной матрицы даются формулой: a_ij = A_ji / det A

Замечание. Если det A = 0, то матрица называется вырожденной.

Свойства обратной матрицы.

1) (А ^-1)^T = (А ^T)^-1

2) (АВ)^-1= В ^-1 А ^-1

а) Метод присоединенной матрицы.

1) вычисляем det A;

2) находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы;

3) составляем матрицу алгебраических дополнений А^V, которая и называется присоединенной матрицей;

4) транспонируем А^V и делим каждый элемент матрицы на det A:

А ^-1=(А^V) ^Т / det A.

Пример. Найти обратную матрицу для заданной матрицы А.

1) Вычисляем определитель: det A = -2.

2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы A₁₁ =5; A₁₂ =-(-4)=4; A₂₁ =-(-3)=3; A₂₂= 2.

3) Составляем матрицу алгебраических дополнений:

4 ) Транспонируем матрицу алгебраических дополнений и делим каждый ее элемент на определитель матрицы А:

б) Метод элементарных преобразований.

Берем матрицу А и составляем расширенную матрицу (A/E):

Элементарными преобразованиями над строками матрицы (A/E) она приводится к виду (E/A), т.е. слева стоит единичная матрица, а справа получаем обратную матрицу.

Пример.

Дата добавления: 2017-01-13