Условные обозначения 1 страница

Формула Грина

Физический смысл криволинейного интеграла II рода

Криволинейный интеграл II рода по координате

Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл II рода по координате записывается в виде

При условии, что непрерывны в точках дуги MN, а дуга – гладкая кривая , интеграл существует и вычисляется как определенный интеграл по формуле:

.

Кроме обычных свойств интеграла отметим, что

Если путь интегрирования простая замкнутая кривая L, то его обозначают , вычисляют в направлении против часовой стрелки и называют циркуляцией.

Криволинейный интеграл II рода численно равен работе, которую совершает переменная сила на криволинейном пути MN.

Пример. Найти работу силы при перемещении по линии отточки к точке .

Решение.

3. Связь между двойными и криволинейными интегралами.

Пусть L граница односвязной области D. и их частные производные непрерывны в замкнутой области D (включая ее границу L), то имеет место формула: .

Пример. Вычислить криволинейный интеграл двумя способами: непосредственно и по формуле Грина. L – контур треугольника ABCA .

Решение. 1. Вычислим непосредственно криволинейный интеграл:

(BC) – прямая, проходящая через 2 точки, имеет уравнение:

.

.

2. Вычисление интеграла по формуле Грина:

Итак, мы получили тот же результат:

Индивидуальные задания

1 — 10. Найти неопределенные интегралы, в примерах а —­ б результаты интегрирования проверить дифференцированием.

1. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

2. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

3. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

4. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

5. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

6. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

7. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

8. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

9. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

10. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

11 — 20. Найти интегралы, используя метод интегрирования по частям.

11. a) , б) .

12. а) , б) .

13. а) , б) .

14. а) , б) .

15. а) , б) .

16. а) , б) .

17. а) , б) .

18. а) , б) .

19. а) , б) .

20. а) , б) .

21 — 30. Проинтегрировать рациональные функции.

21. a) , б) .

22. а) , б) .

23. а) , б) .

24. а) , б) .

25. а) , б) .

26. а) , б) .

27. а) , б) .

28. а) , б) .

29. а) , б) .

30. а) , б) .

31 — 40. Найти интегралы от тригонометрических функций.

31. а) , б) , в) .

32. а) , б) , в) .

33. а) , б) , в) .

34. а) , б) , в) .

35. а) , б) , в) .

36. а) , б) , в) .

37. а) , б) , в) .

38. а) , б) , в) .

39. а) , б) . в) .

40. а) , б) , в) .

41 — 50. Найти интегралы с помощью подстановок.

41. а) , б) , в) .

42. а) , б) , в) .

43. а) , б) , в) .

44. а) , б) , в) .

45. а) , б) , в) .

46. а) , б) , в) .

47. а) , б) , в) .

48. а) , б) , в) .

49. а) , б) , в) .

50. а) , б) , в) .

51 — 60. Вычислить определенные интегралы:

51. а) , б) , в) .

52. а) , б) , в) .

53. а) , б) , в) .

54. а) , б) , в) .

55. а) , б) , в) .

56. а) , б) , в) .

57. а) , б) , в) .

58. а) , б) , в) .

59. а) , б) , в) .

60. а) , б) , в) .

61 — 70. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

61. .	62. .
63. .	64. .
65. .	66. .
67. .	68. .
69. .	70. .

71 — 80. Проинтегрировать уравнение.

71. .	72. .
73. .	74. .
75. .	76. .
77. .	78. .
79. .	80. .

81 — 90. Найти частное решение дифференциального уравнения.

81.	,	,	.
82.	,	,	.
83.	,	,	.
84.	,	,	.
	,	,	.
86.	,	,	.
87.	,	,	.
88.	,	,	.
89.	,	,	.
90.	,	,	.

91 — 100. Найти частное решение дифференциального уравнения.

Дата добавления: 2017-01-13