Пример решения задачи. Компании необходимо выплатить поставщику оборудования 750 тыс

Компании необходимо выплатить поставщику оборудования 750 тыс. рублей. Из них 150 тыс. нужно выплатить через 2 месяца, а остальные 600 тыс. - через 6 месяцев после установки. Компанией принято решение образовать целевой фонд для получения дополнительных средств к моменту выплаты. Существующие возможные способы вложения денег представлены в таблице:

Тип вклада	Срок вклада (мес.)	Процент по вкладу
A		1,5
B		3,5
C		6,0
D		11,0

Необходимо минимизировать размер целевого фонда.

Решение:

Составим таблицу, отражающую возможности вложения и возврата денег по месяцам:

	Начало месяца
Вклады
A1	1®®	1,015
A2		1®®	1,015
A3			1®	1,015
A4				1®®	1,015
A5					1®®	1,015
A6						1®®	1,015
B1	1®®	®®®	1,035
B3			1®®	®®®	1,035
B5					1®®	®®®	1,035
C1	1®®	®®®	®®®	1,06
C4				1®®	®®®	®®®	0,06
D1	1®®	®®®	®®®	®®®	®®®	®®®	1,11

где: Ai - размер вклада типа A в месяце i;

Bi - размер вклада типа B в месяце i;

Ci - размер вклада типа C в месяце i;

Di - размер вклада типа D в месяце i.

Задача может быть описана следующей моделью:

(15)

Таблица исходных данных и форма Поиск решения в Microsoft Excel:

Рис. 20

Решение задачи в Microsoft Excel выглядит так:

Рис. 21

Итак, минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты, составляет 679 тыс. руб. Для получения такого результата нужно использовать типы вкладов В и С.

Такой же результат можно получить и с помощью программы Mathcad:

Рис. 22

Функция minimize возвращает вектор значений переменных, являющихся аргументами целевой функции, при которых ее значение будет минимальным. В первой колонке – порядковый номер переменной, начиная с нулевого, по очередности упоминания. Во второй – соответствующие значения переменных.

При необходимости, присвоив переменным полученные значения, можно рассчитать и значение целевой функции.

Задачи

Задача 4.1

Предпринимателю требуется для закупки товара 10000 рублей через 3 месяца. Сберегательный банк предлагает предпринимателю внести определенную сумму денег по одному из типов вкладов: А (сроком на 1 месяц под 2%) или В (сроком на 3 месяца под 6%). Необходимо определить тип вклада, который позволит получить требуемые средства в течение трех месяцев, вложив минимальную сумму денег.

Задача 4.2

Гражданин О. Бендер хочет приобрести некий мебельный гарнитур, стоимость которого 100 тыс. рублей. Администрация аукциона согласна на выплату в рассрочку, с условием, что 20 тыс. руб. О. Бендер выплатит через 2 месяца, а остальную сумму - через 4 месяца.

Однако О. Бендер, справедливо полагая, что найти требуемую сумму ему не удастся, хочет получить средства путем вложения денег по одному из типов вклада: А (сроком на 1 месяц под 1,5%), В (сроком на 2 месяца под 3,5%) или С (сроком на 4 месяца под 8%).

Какую сумму и по какому типу вклада нужно вложить О. Бендеру, чтобы через 4 месяца купить гарнитур?

Задача 4.3

Уезжая в длительную заграничную командировку, некий бизнесмен решил вложить в банк имеющуюся у него наличность в размере 50 тысяч рублей, воспользовавшись одним из способов:

Тип вклада	Срок вклада (мес.)	Процент по вкладу
A		1,5%
B		3,5%
C		8,0%

Какую максимальную сумму денег сможет получить бизнесмен, вернувшись в Россию через 4 месяца?

Задача 4.4

Студент Иванов 31 мая получил стипендию, равную 5000 рублей. Воспользоваться полученными деньгами студент планирует не ранее 1 сентября. У студента имеется возможность инвестировать полученные средства по одному из вариантов:

Тип вклада	Срок вклада (мес.)	Процент по вкладу
A		2%
B		6%

Каким способом инвестирования стоит воспользоваться, чтобы получить 1 сентября максимальное количество наличных средств?

Транспортная задача

Общая постановка задачи: определить маршруты доставки различных объемов продукции от производителей к потребителям, минимизируя затраты на их транспортировку.

Модель:

(16)

где: a_i - величина предложения продукции в пункте i;

b_j - величина спроса на продукцию в пункте j;

c_ij - затраты на транспортировку единицы продукции из пункта i в пункт j;

x_ij - количество продукции, перевозимое из пункта i в пункт j.

В случае, если транспортная задача называется замкнутой или сбалансированной. В противном случае имеется либо перепроизводство продукции, когда либо ее дефицит:

Задача с перепроизводством или дефицитом продукции должна быть обязательно сведена к замкнутому виду. При перепроизводстве вводят фиктивного m+1-го потребителя, причем . Тогда замкнутая задача имеет вид:

(17)

где: с_i,m+1 - штраф за единицу нереализованной продукции в пункте i;

y_i - количество продукции, нереализованное в пункте i.

В случае дефицита продукции действуют аналогично, вводя фиктивного n+1-го производителя, . Тогда замкнутая задача имеет вид:

(18)

где: с_n+1,j - штраф за единицу недопоставленной продукции в пункт j;

y_j - количество продукции, недопоставленное в пункт j.

В условии транспортной задачи могут встречаться также дополнительные условия, например, запреты, ограничения на пропускные способности, фиксированные перевозки, введение новых мощностей и т.д.

Пример решения задачи:

Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет четыре карьера. Производительность карьеров составляет 170, 130, 190 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда из карьеров направляется на три обогатительные фабрики, мощности которых составляют 250, 150 и 270 тыс. т в месяц. Транспортные затраты (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрики указаны в таблице:

	Фабрика 1	Фабрика 2	Фабрика 3
Карьер 1
Карьер 2
Карьер 3
Карьер 4

Определите план перевозок железной руды на обогатительные фабрики, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.

Решение:

В данной задаче количество руды, вырабатываемой в месяц четырьмя карьерами, на 20 тыс. т больше, чем мощностные возможности трех фабрик за тот же временной период. Сведем задачу к замкнутому виду, добавив фиктивного четвертого потребителя.

Модель рассматриваемой задачи выглядит так:

(19)

Заметим, что в целевую функцию не введены штрафы за нереализацию продукции в связи с их отсутствием в условии задачи.

Введем исходные данные в таблицу Microsoft Excel:

Рис. 23

Решим задачу при помощи модуля Поиск решения:

Рис. 24

Решим эту же задачу при помощи математической системы Mathcad:

Рис. 25

Присвоив переменным полученные в ходе оптимизации значения, получим значение целевой функции равным 2710, что полностью совпадает с решением, полученным при помощи Microsoft Excel.

Это означает, что минимальные совокупные транспортные издержки в данной задаче равны 2710 тыс. руб. При этом значения переменных отражают количество руды (в тыс. т), перевозимое из карьера, определяемого первым индексом переменной, на фабрику, номер которой определяется вторым индексом.

Задачи

Задача 5.1

Отдел грузовых перевозок компании "Русские железные дороги" получил 3 заказа на перевозку специально оборудованными составами нефтепродуктов по территории европейской части России. Заказчику в Москве требуется 5 составов, в Санкт-Петербурге - 4 состава, в Воронеже - 3 состава.

В настоящий момент времени все свободные составы компании находятся в других городах - по 5 в Ярославле и Орле и 2 в Липецке.

Время, затрачиваемое на перегон состава из одного города в другой, указано в таблице (в часах).

	Москва	Санкт-Петербург	Воронеж
Ярославль
Орел
Липецк

Необходимо определить такой план доставки составов заказчикам, в соответствии с которым их перегон займет минимальное количество времени.

Задача 5.2

Четыре фермерских хозяйства, находящиеся в Рязанской, Владимирской, Тверской и Смоленской областях, направляют выращиваемые овощи и фрукты на переработку и консервацию на один из трех заводов, которые расположены в Москве, Туле и Ярославле.

Затраты на перевозку 1 т продукции представлены в таблице (в рублях):

	Москва	Тула	Ярославль
Рязанское
Владимирское
Тверское
Смоленское

В сезон Рязанское хозяйство производит 40 т продукции в неделю, Владимирское - 50 т, Тверское - 60 т, Смоленское - 70 т, в то время как завод в Москве может переработать в неделю 100 т продукции, в Туле - 50 т, в Ярославле - 40 т.

Составьте план перевозок продукции из фермерских хозяйств на заводы с минимальными транспортными расходами, учитывая, что в связи с ремонтом трассы Москва-Рязань в неделю по ней можно перевезти не более 20 т продукции.

Задача 5.3

Транспортная компания "На колесах" заключила контракт с тремя мебельными фабриками на поставку высококачественной древесины, производимой одним из пяти поставщиков. Транспортные затраты на 1 тыс. м³ древесины содержатся в таблице:

	Фабрика А	Фабрика В	Фабрика С
Поставщик I
Поставщик II
Поставщик III
Поставщик IV
Поставщик V

Потребности фабрики А составляют 120 тыс. м³ в месяц, фабрики В - 140 тыс. м³, фабрики С - 110 тыс. м³, в то время как каждый из поставщиков вырабатывает в тот же период 75 тыс. м³ древесины.

Затраты на погрузку и разгрузку 1 тыс. м3 древесины составляют 30 руб.

Технические возможности не позволяют перевозить древесину от поставщика V на фабрику В.

Каковы минимальные затраты компании на выполнение условий контракта?

Задача 5.4

Маркетинговый отдел литейного завода прогнозирует спрос на производимые заводом детали в начале следующего года: январь - 10 тыс. шт., февраль - 14 тыс. шт., март - 16 тыс. шт., апрель - 12 тыс. шт.

При работе в одну смену можно изготавливать 12 тыс. деталей в месяц. Затраты на производство одной детали составляют 200 рублей. Если завод будет работать и во вторую смену, это позволит производить дополнительно 3 тыс. деталей в месяц, но затраты на производство одной детали во вторую смену составят уже 250 рублей.

Хранение детали на складе обходится заводу в 10 рублей в месяц.

Определите, сколько деталей нужно изготавливать каждый месяц, чтобы удовлетворить спрос с минимальными затратами.

Задача о назначениях

Общая постановка задачи: требуется распределить n работ между n рабочими так, чтобы затраты на выполнение работ были минимальными или эффективность использования рабочей силы была максимальной.

Модель задачи в случае минимизации затрат о назначениях выглядит так:

(20)

где: с_ij - затраты на выполнение i-м рабочим j-й работы;

x_ij - переменная модели: x_ij=1, если i-й рабочий назначен на работу j, x_ij = 0, если i-й рабочий не назначен на работу j.

В случае максимизации эффективности использования рабочей силы за с_ij обозначают коэффициент, показывающий эффективность выполнения i-м рабочим j-й работы, и задача решается на максимизацию целевой функции.

Если количество рабочих не равно количеству работ, задача является открытой или несбалансированной и требует приведения к замкнутому виду путем введения недостающих рабочих или работ в необходимом количестве, для которых все с_ij = 0.

Пример:

Фирма получила заказ на разработку пяти программных продуктов.

Для выполнения заказа решено привлечь пятерых наиболее опытных программистов. Каждый из них должен написать одну программу. В таблице приведены оценки времени в днях, необходимого программистам для выполнения каждой из этих работ:

	Программа1	Программа2	Программа3	Программа4	Программа5
Галкин
Палкин
Малкин
Чалкин
Залкинд

Как распределить работы между программистами, чтобы общее количество человеко-дней, затраченное на выполнение заказа, было минимальным?

Составим модель линейного программирования, отражающую условие:

(21)

Решим задачу при помощи Microsoft Excel:

Рис. 26

При решении задач о назначении особый интерес вызывает способ ввода ограничений при заполнении формы модуля Поиск решения:

Рис. 27

Проведенные расчеты показывают, что минимальное количество человеко-дней для выполнения заказа составляет 234. Назначение программиста для создания программы определяется наличием на пересечении строки и столбца значения 1.

Рис. 28

Для решения задачи в Mathcad необходимо сначала задать целевую функцию, присвоить переменным их стартовые значения, а затем ввести ограничения, как показано на рис. 29.

Рис. 29

Результатом вычислений с использованием функции minimize являются следующие значения переменных:

Значения остальных переменных равны нулю.

Полученное решение означает, что Галкину будет поручено выполнение работы 5, Палкину – работы 4, Малкину – работы 2, Чалкину – работы 3, Залкинду – работы 1.

Полученное решение не совпадает с решением этой задачи, полученным при помощи Microsoft Excel. Однако, присвоив переменным значения, полученные в процессе оптимизации, выясним, что значение целевой функции в данном случае равно 234. При решении задачи в Microsoft Excel значение целевой функции тоже равно 234. Это свидетельствует о наличии как минимум двух альтернативных решений задачи, при которых общее количество затраченных человеко-дней будет минимальным.

Задачи

Задача 6.1

В Центральном административном округе города Москвы открываются 4 магазина торговли по предварительным заказам - в районах Басманный, Замоскворечье, Мещанский и Таганский. Идея проекта состоит в том, что товары хранятся на четырех централизованных складах, находящихся в Северном, Северо-Восточном, Южном и Западном административных округах, и несколько раз в день по мере поступления заказов доставляются в магазины небольшими партиями.

Время, затрачиваемое на доставку продукции со складов в магазины, приведено в таблице (в минутах):

	Басманный	Замоскворечье	Мещанский	Таганский
Северный
Северо-Восточный
Южный
Западный

Руководство сети магазинов должно решить вопрос прикрепления магазинов к складам так, чтобы каждый склад обслуживал только один магазин, а время доставки товаров было минимальным.

Задача 6.2

Фирма получила заказ на срочный перевод четырех книг с итальянского языка. Фирма может располагать услугами 5 переводчиков, способных выполнить работу такого уровня. Время в днях, за которое каждый переводчик справится с работой, приведено в таблице:

	Книга 1	Книга 2	Книга 3	Книга 4
Иванов
Петров
Сидоров
Андреев
Васильев

Фирма использует повременную оплату труда. Переводчики имеют разную квалификацию, поэтому за день работы фирма платит Иванову 700 рублей в день, Петрову - 800 рублей в день, Сидорову - 600, Андрееву - 500, Васильеву - 550.

Поскольку по оценке фирмы качество переводов в итоге будет примерно одинаковым, руководство фирмы просит Вас составить такое распределение работ, которое позволит минимизировать затраты на переводы.

Задача 6.3

Компания "Евростройтур" организует экскурсионные автобусные туры по странам Европы. Компания получила 4 новых автобуса и предполагает направить их на маршруты во Францию, Италию, Чехию и Испанию.

Каждый автобус обслуживают 2 водителя. Компанией приглашены 8 водителей, в различной степени знакомых с дорогами европейских стран (в % от экскурсионного маршрута):

	Франция	Италия	Чехия	Испания
Александр
Алексей
Валентин
Василий
Николай
Виктор
Андрей
Юрий

Необходимо распределить водителей так, чтобы общий показатель освоения маршрутов был максимальным.

Литература

1. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. - М.: Издательство Московского университета, 1997. - 256 с.

2. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: Учебное пособие. - М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 2002. - 312 с.

3. Гарнаев А.Ю. Excel, VBA, Internet в экономике и финансах. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 816 с.

4. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы. – М.: Форум – Инфра-М, 2005. – 464 с.

5. Салманов О.Н. Математическая экономика с применением Mathcad и Excel. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 464 с.

6. Цисарь И.Ф., Нейман В.Г. Компьютерное моделирование экономики. - М.: "Диалог-МИФИ", 2002. - 304 с.

7. Microsoft Office 2000 Шаг за шагом: Практическое пособие / Перевод с английского. – М: Издательство ЭКОМ, 2000 – 792 с.

Для заметок

Для заметок

Дата добавления: 2017-01-13