Найти вероятности состояний в установившемся режиме и определить журнал, который будет пользоваться наиболь­шим спросом у читателей

Задачи

Продолжение

Интенсивности перехода Х0 и \1у для расчета комплексных показателей надежности автомобилей МАЗ

Продолжение

Значения параметров модели могут

быть определены двумя способами. Согласно первому способу по­лученные значения параметров потока отказов автомобиля, связан­ных с его текущим ремонтом, капитальным ремонтом и списанием его агрегатов, аппроксимируются экспоненциальными зависимос­тями следующего вида:

Ошибка аппроксимации при небольших п бывает высокой и может достигать 10—20%. Это один из главных недостатков перво­го способа, существенно снижающий точность последующих рас­четов годового пробега. Указанный недостаток можно исключить.

Согласно второму способу параметры задаются дис-

кретно для каждого интервала пробега и являются постоянными величинами на каждом заданном интервале пробега, составляю­щем 10—20 тыс. км, но значения этих параметров меняются в тече­ние пробега с начала эксплуатации автомобиля скачкообразно от одного интервала к другому.

Метод динамики средних может быть использован и для опре­деления коэффициента выпуска автопарка, состоящего из автомо­билей разных моделей.

Указанная задача может быть решена двумя способами. Первый способ состоит в рассмотрении изолированного процесса эксплуа­тации совокупности автомобилей одной модели.

Второй способ предполагает рассмотрение процесса функцио­нирования моделей автомобилей многомарочного парка в целом. В этом случае без принципиальных изменений может быть использо­ван изложенный выше способ, разница будет только в том, что

число дифференциальных уравнений увеличится в п раз, где п — число моделей подвижного состава, обслуживаемых на одних и тех же постах ТО и ТР. Использование метода динамики средних для определения коэффициентов технической готовности и выпуска автомобилей моделей разномарочного парка¹ позволяет учесть ог­раниченное количество постов для проведения ТО и ТР.

При определении коэффициентов технической готовности и выпуска автомобилей разномарочного парка необходимо разбить все модели подвижного состава, эксплуатирующегося в АТП, на группы, включающие автомобили тех моделей, которые обслужи­ваются на одних и тех же постах ТО-2 и ТР. Для каждой группы мо­делей подвижного состава строится единая система дифференци­альных уравнений, описывающая функционирование соответству­ющей группы автомобилей¹.

2.1. В моменты времени проводится осмотр ЭВМ. Воз-

можны следующие состояния ЭВМ:

— полностью исправна;

— незначительные неисправности, которые позволяют экс­
плуатировать ЭВМ;

— существенные неисправности, дающие возможность ре­
шать ограниченное число задач;

— ЭВМ полностью вышла из строя.
Матрица переходных вероятностей имеет вид

Постройте граф состояний. Найдите вероятности состояний ЭВМ после одного, двух, трех осмотров, если вначале ЭВМ была полностью исправна.

2.2. Магазин продает две марки автомобилей А и В. Опыт экс­плуатации этих марок автомобилей свидетельствует о том, что для

них имеют место различные матрицы переходных вероятностей, соответствующие состояниям: работает хорошо (состояние 1) и тре­бует ремонта (состояние 2):

Элементы матрицы перехода определены на годовой период эксплуатации автомобиля. Требуется:

1) найти вероятности состояний для каждой марки автомобиля после двухлетней эксплуатации, если в начальном состоянии авто­мобиль «работает хорошо»;

2) определить марку автомобиля, являющуюся более предпо­чтительной для приобретения в личное пользование.

2.3. Система ^-автомобиль может находиться в одном из пяти
возможных состояний:

исправен, работает;

неисправен, ожидает осмотра;

осматривается;

ремонтируется;

списывается.

Постройте граф состояний системы.

2.4. Организация по прокату автомобилей в городе выдает ав­
томобили напрокат в трех пунктах города: А, В, С. Клиенты могут
возвращать автомобили в любой из трех пунктов. Анализ процесса
возвращения автомобилей из проката в течение года показал, что
клиенты возвращают автомобили в пункты А, В, С в соответствии
со следующими вероятностями:

Требуется:

1) в предположении, что число клиентов в городе не изменяет­ся, найти процентное распределение клиентов, возвращающих ав­томобили по станциям проката к концу года, если в начале года оно было равномерным;

2) найти вероятности состояний в установившемся режиме;

3) определить пункт проката, у которого более целесообразно строить станцию по ремонту автомобилей.

2.5. Рассматривается процесс накопления терминов в динами­
ческом словаре (тезаурусе) при функционировании автоматизиро­
ванного банка данных (АБД). Сущность процесса в том, что терми­
ны заносятся в словарь по мере их появления в той информации,
которая вводится в АБД. Например, в АБД автоматизированной
системы управления производством (АСУП) могут в качестве тер­
минов заноситься наименования организаций, с которыми данное
предприятие поддерживает производственные отношения. Дина­
мический словарь наименрваний таких организаций будет накап­
ливаться в АБД АСУП по мере появления этих наименований в
единицах информации, вводимых в АБД.

В каждой единице информации, поступающей в АБД, в сред­нем встречается х терминов словаря, а интенсивность поступле­ния единиц информации в АБД равна Следовательно, интен­сивность потока терминов словаря в информации, поступающей в АБД, будет Предполагается, что поток терминов сло­варя является пуассоновским. Число терминов словаря п является конечным и неслучайным, хотя, возможно, и неизвестным нам за­ранее. Все термины словаря могут находиться в единице информа­ции с одинаковой вероятностью. В словарь заносятся, естественно, лишь те термины, которые до сих пор еще не встречались в едини­цах информации.

Требуется найти математическое ожидание и дисперсию числа терминов, накопленных в динамическом словаре¹.

2.6. Водитель такси обнаружил, что если он находится в городе
А, то в среднем в 8 случаях из 10 он везет следующего пассажира в
город Б, в остальных случаях будет поездка по городу А. Если же
он находится в городе Б, то в среднем в 4 случаях из 10 он везет
следующего пассажира в город А, в остальных же случаях будет по­
ездка по городу Б.

Требуется:

1) перечислить возможные состояния процесса и построить граф состояний;

2) записать матрицу переходных вероятностей;

3) найти вероятности состояний после двух шагов процесса, если:

а) в начальном состоянии водитель находится в городе А;

б) в начальном состоянии водитель находится в городе Б;

4) найти вероятности состояний в установившемся режиме.

2.7. Система S представляет собой техническое устройство, со­
стоящее из т узлов и время от времени (в моменты t_b t_2i..., t_k) под­
вергающееся профилактическому осмотру и ремонту. После каждо­
го шага (момента осмотра и ремонта) система может оказаться в
одном из следующих состояний:

— все узлы исправны (ни один не заменялся новым);

— один узел заменен новым, остальные исправны;
_ — два узла заменены новыми, остальные исправны;
₉ — i узлов (/ < т) заменены новыми, остальные исправны;

, — все т узлов заменены новыми. Суммарный поток моментов окончания осмотров для всех уз­лов — пуассоновский с интенсивностью X = 4. Вероятность того, что в момент профилактики узел придется заменить новым, равна

Рассматривая процесс профилактического осмотра и ремонта (замены) как марковский процесс размножения, вычислите вероят­ности состояний системы (S) в стационарном режиме (для т = 3), если в начальный момент времени все узлы исправны¹.

2.8. Техническое устройство имеет два возможных состояния:

— исправно, работает;

— неисправно, ремонтируется.

Матрица переходных вероятностей имеет вид:

Постройте граф состояний. Найдите вероятности состояний после третьего шага и в установившемся режиме, если в начальном состоянии техническое устройство исправно.

2.9. Система S состоит из двух узлов — I и II, каждый из кото­
рых может в ходе работы системы отказать (выйти из строя).

Перечислите возможные состояния системы и постройте граф состояний для двух случаев:

1) ремонт узлов в процессе работы системы не производится (чистый процесс гибели системы);

2) отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться.

2.10. В городе издаются три журнала: Q, С₂, С₃, и читатели вы­
писывают только один из них. Пусть в среднем читатели стремят­
ся поменять журнал, т. е. подписаться на другой не более одного
раза в год, и вероятности таких изменений постоянны. Результаты
маркетинговых исследований спроса читателей на журналы дали
следующее процентное соотношение:

80% читателей С_х подписываются на С₂; 15% читателей С₂ подписываются на С₃; 8% читателей С₃ подписываются на Cj. Требуется:

1) записать матрицу переходных вероятностей для средних го­довых изменений;

2) предположить, что общее число подписчиков в городе посто­янно, и определить, какая доля из их числа будет подписы­ваться на указанные журналы через два года, если по состо­янию на 1 января текущего года каждый журнал имел одина­ковое число подписчиков;

2.11. Техническое устройство состоит из двух узлов и может на­
ходиться в одном из следующих состояний:

оба узла исправны, работают;

неисправен только первый узел;

неисправен только второй узел;

Дата добавления: 2017-01-14