Способы изображения синусоидальных функций времени

Общие теоретические сведения

Синусоидальные функции времени могут быть представлены тригонометрической формой записи, линейными диаграммами изменения синусоидальной величины во времени, вращающимися векторами и комплексными числами.

Тригонометрическая форма записи синусоидально изменяющейся во времени величины в общем виде представляется выражением

a = A_m sin (ωt + + ψ) = A_m sin α,

где α - мгновенное значение синусоидальной функции времени; A_m - амплитудное значение синусоидальной функции времени; ω -угловая или круговая частота, характеризующая скорость изменения фазового утла; t - текущее значение времени; α = (ω t + ψ) - фаза или фазовый угол (аргумент синусоидальной функции времени); ψ - начальная фаза (начальный фазовый угол) (рисунок 1, а).

В соответствии с выражением для мгновенного значения сину-соидальная функция времени во многих случаях изображается в ви-де линейной диаграммы - графика изменения соответствующей си-нусоидальной функции от времени (от угла ω).(рисунок 1, б).

Период изменяющейся во времени синусоидальной величины Т = 1/f (f - частота синусоидально изменяющейся во времени величины (число периодов в секунду)]. В электротехнике кроме мгновенных используются действующие и средние значения.

Рисунок 1– Способы представления синусоидального тока: а) круговая диаграмма; б) временная диаграмма (эпюра напряжений).

Действующие значения синусоидально изменяющейся ЭДС напряжений и токов записывают соответственно в виде выражений:

=0,707 =0,707 =0,707

Соответственно, средние значения синусоидально изменяющих­ся ЭДС, напряжений и токов:

=0,637 =0,637 =0,637

Синусоидальная функция времени изображается также вращаю­щимся вектором (см. рисунок 1, а). Длина вращающегося радиуса- вектора равна амплитуде А_m синусоидальной функции времени, угол между вращающимся вектором и осью абсцисс для момента времени t = 0 представляет начальную фазу у синусоидальной величины. Проекция вращающегося радиуса-вектора на ось ординат определяет мгновенное значение синусоидальной величины.

В электротехнике за положительное направление вращения векторов принято направление против хода часовых стрелок.

Синусоидальные функции времени a = A_m sin (ωt + ψ) изображаются также комплексными числами. При этом на плоскости комплексных чисел (рисунок 2) из начала координат под углом у к оси действительных чисел (вещественной оси) проводят вектор A_m, концу которого соответствует определенное комплексное число. Комплексная амплитуда синусоидальных величин определяется выражением (где е - основание натурального логарифма). Для действующих значений синусоидальных величин это выражение преобразуется к виду: .

Рисунок 2– Векторное представление комплексного числа

С увеличением времени фаза α = (ωt + ψ) синусоидальной величины возрастает, при этом угол между радиусом-вектором и осью действительных величин увеличивается, радиус-вектор поворачивается на соответствующий угол против хода часовых стрелок. Для момента времени t₁ (см. рисунок 1, б) комплексная амплитуда

а действующее значение

Комплексное число представляет собой сумму действительной и мнимой частей:

где А' - вещественная (действительная) часть комплексного числа; jA^// - мнимая часть комплексного числа; Re и Im - символы, обозначающие дей-ствительную и мнимую части комплексного числа (.

Комплексные числа А' ± jA^// и А' ± jA^//₁ считаются равными, если их действительные и мнимые части равны (А' = А^/₁; ±jA^m = ±jA”).

В выражении комплексного числа фигурирует также символ - мнимая единица, с помощью которого из комплексного числа выделяется его мнимая составляющая. Умножение вектора А на множитель j соответствует повороту его на угол, равный π/2 в положительном направлении (против хода часовой стрелки), а умножение на j - повороту в отрицательном направлении (по ходу часовой стрелки).

Модуль комплексного числа: , а его аргумент

ψ = arctg A^// / A ^/.

Таблица 1.1

Дата добавления: 2017-02-01