Число уравнений и неизвестных равно 3

Рассмотрим СЛУ

Вычисляются определители:

, ,

, .

1. Если , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

, .

2. Если , а хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система не имеет решений.

3. Если , то система имеет бесконечно много решений.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений .

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его: ,

значит, СЛУ имеет единственное решение.

Найдем вспомогательные определители и значения неизвестных.

Ответ: Система совместная и определенная, единственное решение .

Рассмотрим пример, в котором СЛУ имеет бесконечное множество решений, и они будут найдены с применением формул Крамера.

Пример 5. Решить СЛУ

Решение

Вычислим определитель системы:

Заметим, что третье уравнение системы равно сумме первых двух уравнений, т.е. зависит от первых двух уравнений.

Отбросив третье уравнение, получим равносильную систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Оставим в левой части системы те неизвестные, коэффициенты при которых образуют определитель, не равный нулю.

Например, коэффициенты при и образуют определитель . Поэтому оставим в левой части уравнений слагаемые с и , а слагаемые с перенесем в правую часть с противоположным знаком.

Неизвестное назовем свободным, а неизвестные и - базисными неизвестными.

Запишем систему в виде и применим к ней правило Крамера:

;

Выражение

-

общее решениенеопределенной СЛУ, где - любое действительное число.

Из общего решения можно получить частные решения, если придать свободной неизвестной какое-то конкретное значение.

Например, пусть , тогда ; тогда частное решение . И так далее.

4. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение 1. Пусть имеется матрица размерности : . Минором k-го порядка данной матрицы называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столб­цов матрицы. Пример. В матрице минорами первого порядка явля­ются сами элементы матрицы. Если выбрать две строчки (например, 1-ю и 3-ю) и два столбца (например, 2-й и 5-й), получится минор второго порядка . Если взять три строки и три столбца (например, 1-й, 3-й, и 4-й), получится минор 3-го порядка . Определение 2. Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Пример. В рассмотренной выше матрице все миноры 3-го порядка равны нулю (это нетрудно проверить, миноров 3-го порядка всего десять), а среди миноров 2-го порядка есть отличные от нуля, например, вычисленный выше. Значит, ранг матрицы равен двум. Это обозначается: . Определение 3. Две матрицы и называются эквивалентными (пишут: ), если их ранги равны: . Можно показать, что следующие преобразования не меняют ранга матрицы: 1) перестановка строк матрицы; 2) умножение какой-либо строки на действительное число, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки; 4) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю. Указанные преобразования можно использовать для определения ранга матрицы. Пример. Для определения ранга матрицы необходимо выполнить цепочку следующих преобразований: ~ (переставили местами первую и вторую строки) ~ (первую строку умножили на и сло­жили со второй; первую строку умножили на и сложили с третьей) ~ (элементы третьей строки умножили на   ) ~ (к элементам третьей строки прибавили элементы второй строки). Преобразованная матрица имеет две ненулевые строки, следовательно, ранг матрицы равен двум: . Определение 4. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными: Матрицей системы называют матрицу, составленную из коэффициентов при неиз­вестных, расширенной матрицей системы – матрицу из коэффициентов с дополни­тельным столбцом из свободных членов. Если обозначить их соответственно и , то , . Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество. Пример. Исследовать систему линейных уравнений Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят в расширенную мат­рицу, то ранги обеих матриц можно вычислять одновременно. ~ ~ ~ . Таким образом, матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен двум. В матрице три ненулевых строки, ее ранг равен трем. А т.к. , система несовместна.

Дата добавления: 2017-02-01