Специальные тесты проверки точности моделирования БСВ

Поскольку БСВ используются при моделировании всех других случайных элементов, точность моделирования для датчиков БСВ должна проверяться особенно тщательно. В терминах статистической проверки гипотез данная задача формулируется следующим образом.

По выборке значений , полученной в результате - кратного обращения к датчику БСВ необходимо проверить гипотезу

выборочные значения являются реализациями независимых СВ , равномерно распределённых на [0,1); конкурирующая гипотеза .

Для этой цели наряду с традиционными статистическими критериями проверки точности моделирования СВ (критериями согласия, критериями серий и др.), применяется ряд специальных тестов.

В пакете СТАТМОД реализованы следующие тесты данной группы:

· тест «совпадения моментов»;

· тест «ковариация»;

· тест «равномерность двумерного распределения».

Тест «совпадения моментов»

Пусть в результате - кратного обращения к датчику БСВ получена выборка значений . Известно, что БСВ имеет среднее значение и дисперсию . Обозначим:

,

-- случайные отклонения выборочных оценок

,

от истинных характеристик .

Тест «совпадения моментов» -- это программа для ЭВМ, реализующая статистические критерии проверки по выборке А гипотез:

(4)

, (5)

Решающее правило для проверки гипотез (4), (5) имеет вид:

принимается (6)

где: ={1 — для соотношений (4); 2 – для соотношений (5)}; -- нормировочные множители; ∆ -- порог критерия.

Если верна, а >>1 (практически ≥20), то в силу ЦПТ: ~Ν₁(0,1) (распределено приближённо по стандартному нормальному закону). С учётом этого из ограничения на вероятность ошибки первого рода:

находится выражение для порога критериев:

Δ = Ф^-1(1 - ),

где Ф^-1 -- квантиль стандартного нормального закона, -- заданный уровень значимости.

В пакете СТАТМОД предполагается эквивалентной формы решающих правил (6), связывающей задаваемый пользователем уровень значимости и вычисляемые по выборке А критические вероятности -значения):

принимается

где

Тест «ковариация»

Ковариационной функцией случайной последовательности называется функция целочисленной переменной :

Если -- независимые, одинаково распределённые по закону R(0,1) случайные величины, то и независимы для любого и следовательно:

(7)

Пусть -- оценка по выборке , полученной в результате - кратного обращения к исследуемому датчику:

где 1<t<< -- выборочное среднее. Заметим, что - выборочная дисперсия).

Тест «ковариация» позволяет проверить свойство (7) (гипотезу ) для последовательности и описывается следующим решающим правилом:

принимается (8)

где: для Δ - порог, определённый для заданного уровня значимости по формуле:

Δ = Ф^-1(1 - ).

В пакете СТАТМОД предполагается использование эквивалентной формы правила (8):

принимается

где

Представим (8) в виде:

принимается (9)

Здесь - верхняя и нижняя доверительные границы для , соответствующие доверительной вероятности

Решающее правило в форме (9) удобно использовать при визуальном анализе графиков ковариационной функции и её оценки .

Тест «равномерность двухмерного распределения»

Из выборочных значений полученных в результате - кратного обращения к датчику БСВ построим ([ ]-целая часть числа ) векторов:

(10)

Единичный квадрат с центром в точке разобьём на ячеек:

где -- произвольные вещественные числа.

Вычислим частоты попадания точек с координатами (10) в ячеек гиперкуба.

Если -- независимые, одинаково распределённые по закону R(0,1) случайные величины, то теоретические вероятности попадания точек с координатами в ячейки равны площадям этих ячеек:

Описываемый тест используется для проверки гипотезы Н₀ о равномерности двухмерного распределения векторов и представляет собой следующее решающее правило:

принимается (11)

где в случае истинной гипотезы H₀ и статистика

(12)

имеет x ² – распределение с k – 1 степенями свободы, а порог Δ определяется как квантиль этого распределения: , где ε – заданный уровень значимости.

В пакете СТАТМОД предполагается использование эквивалентной формы правила (11):

принимается

где Р - значение вычисляется по формуле: P=1-F(x ² ), здесь F(.) - функция распределения статистики (12).

Дата добавления: 2017-02-01