Метод узловых и контурных уравнений

Расчет электрических цепей постоянного тока методом узловых и контурных уравнений

Введение

Предмет "Теоретические основы электротехники " базируется на знании общеобразовательных и общетехнических предметов: математики, физики, практического использования программного обеспечения ПЭВМ и является ос­новой для изучения предметов по специальностям электротехнического, элек­троэнергетического и радиотехнического профилей.

Широкое применение электрической энергии объясняется ее ценными свойствами, возможностью эффективного преобразо­вания в другие виды энергии (механическую, тепловую, све­товую, химическую) с целью приведения в действие машин и механизмов, получения теплоты и света, производства и обработки матери­алов и т. д.

Преобразование электрической энергии в механическую с помощью электродвигателей позволяет наиболее удобно, технически совершенно и экономически выгодно приводить в движение многочисленные и разнообразные рабочие машины и механизмы, металлорежущие станки, прокатные станы, подъемно-транспортные машины, вентиляторы.

Электрификация рабочих машин дает возможность не только механизировать, но и максимально автоматизировать силовые процессы, так как электродвигатель позволяет в широ­ких диапазонах регулировать мощность и скорость привода. Во многих технологических процессах используют преоб­разование электрической энергии в тепловую и химическую.

Электрические источники света дают высокое качество искусственного освещения. Благодаря применению электричес­кой энергии получены выдающиеся результаты в технике связи, автоматике, электронике, в управлении и контроле технологических процессов и т. д.

Задание

Требуется рассчитать электрическую цепь постоянного тока, изображённую на рисунке 1.

Рисунок 1 – Исходная схема

Таблица 1 – Данные для расчета

Е1	Е2	R1	R2	R3	R4	R5	R6	r01	r02

Определить: I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆

Составить систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

Метод узловых и контурных уравнений основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчёта любой цепи.

При расчёте данным методом произвольно задаём направление токов в ветвях I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆.

Рисунок 2 – Исходная схема

Составляем систему уравнений. В системе должно быть столько уравнений, сколько в цепи ветвей.

В заданной цепи шесть ветвей, значит, в системе должно быть шесть уравнений (m=6). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа.

Для цепи с n узлами можно составить (n -1) независимых уравнений. В нашей цепи три узла (А, В, С, D), значит, число уравнений 3.

Составляем три уравнения для любых 3-х узлов.

узел А: -I₁-I₂+I₃=0

узел B: I₁- I₄+I₆=0

узел С: I₂- I₅-I₆=0

Всего в системе должно быть пять уравнений. Два уже есть. Три недостающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.

Задаёмся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контур ABD – против часовой стрелки

Е₁=I₁(R₁+ r₀₁)+I_3*R₃+I_4*R₄

Контур BDC – против часовой стрелки

0=I_4*R ₄-I_5*R₅+I_6*R₆

Контур BCDB – по часовой стрелке

E₂= I_2*(R₂+ r₀₂ )+I_3*R₃+I5_*R₅

ЭДС в контуре берётся со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с обиходом контура, если не совпадает – знак “-”.

Мы получили систему из шести уравнений с шестью неизвестными:

-I₁-I₂+I₃=0

I₁- I₄+I₆=0

I₂- I₅-I₆=0

Е₁=I₁(R₁+ r₀₁)+I_3*R₃+I_4*R₄

0=I_4*R ₄-I_5*R₅+I_6*R₆

E₂= I_2*(R₂+ r₀₂ )+I_3*R₃+I5_*R₅

Решив систему, определим величину и направление тока во всех ветвях схемы.

Если при решении системы ток получается со знаком “-”, значит его действительное направление обратно тому направлению, которым мы задались.

В матричной форме:

b

-1

-1

-1

-1

-1

-51

		Где

	-1	-1
				-1
					-1	-1
=							=
					-51
		-1
				-1
					-1	-1
=							=
					-51
	-1
				-1
					-1	-1
=							=	-16696
					-51
	-1	-1
				-1
					-1	-1
=							=
					-51
	-1	-1
					-1	-1
=							=
					-51
	-1	-1
				-1
						-1
=							=

	-1	-1
				-1
					-1
Δ6 =							=
					-51

Решив данную систему на ЭВМ (программа Exel) получаем:

I₁= 0.0709 A

I₂= 0.2678 A

I₃= 0.3388 A

I₄= 0.1994 A

I₅= 0.1394 A

I₆= 0.1284 А

Дата добавления: 2017-02-01