Контрольні питання

План.

Тема 4.1. Комплексні числа та їх представлення

Мета: Дати поняття комплексного числа та означити множину комплексних чисел, навчити представляти комплексні числа у різних формах та перетворювати числа з однієї форми в іншу.

1. Поняття про комплексне число. Представлення комплексних чисел у різних формах.

2. Перетворення комплексного числа з однієї форми до іншої.

1. Означення. Множина векторів площини разом з введеними в ній діями додавання і множення називається множиною комплексних чисел.

Кожне комплексне число має вигляд

, (1)

де а та b – довільні дійсні числа, а і – так звана уявна одиниця (і²=-1).

Формулу (1) називатимемо нормальною формою комплексного числа, а – його дійсною, а – уявною частиною.

Дійсні числа складають підмножину комплексних чисел, а саме – дійсне число – це таке комплексне число, уявна частина якого рівна нулю.

Два комплексні числа називають рівними тоді і тільки тоді, коли в них рівні і дійні, і уявні частини.

Комплексне число можна зобразити точкою площини . Абсциса цієї точки дорівнює дійсній частині числа, а ордината – уявній частині комплексного числа. Таку площину називають площиною комплексних чисел.

Положення точки, яка зображує комплексне число можна визначити і за допомогою полярних координат та . При цьому називається модулем, а – аргументом комплексного числа, при цьому .

Позначаємо .

Величина визначена з точністю до . Значення , яке визначається нерівностями , називається головним значенням аргумента і позначається .

Враховуючи те, що і можна комплексне число записати у тригонометричній формі:

. (2)

Як випливає з попереднього, двом згаданим формам комплексного числа відповідають дві різні системи координат на площині – декартова прямокутна і полярна. Вводячи дві основні дії над комплексними числами – додавання і множення, зазвичай користуються різними системами координат. Справа в тому, що при паралельному перенесенні, яке відповідає дії додавання, за простим законом змінюються декартові координати точок, а при перетворенні, що поєднує повертання і подібне перетворення (таке перетворення відповідає дії множення), дуже просто змінюються полярні координати точок.

Зупинимося ще на геометричному змісті модуля комплексного числа. Згідно з визначенням модулем є довжина вектора, що позначає число . Використовуючи геометричне тлумачення, можна, наприклад, ввести поняття модуля різниці двох чисел. Модуль різниці двох комплексних чисел є відстань між точками комплексної площини, які відповідають цим числам. Це корисне геометричне тлумачення модуля різниці двох комплексних чисел дозволяє при розв’язуванні декотрих задач використовувати прості геометричні факти.

Крім вище наведених, часто використовується так звана показникова форма запису:

. (3)

Показникова форма запису комплексного числа є більш компактною в порівнянні з тригонометричною.

Число називається спряженим до числа .

Приклад 1. Записати число z = 1 – i в тригонометричній формі.

Розв’язування. Знаходимо модуль

= .

Для аргументу φ отримуємо систему

(4)

Одним із розв’язків цієї системи буде, наприклад, , і, звідси, дане комплексне число в тригонометричній формі запишеться так:

.

Тригонометричною формою запису буде, очевидно, і наступний запис:

.

Відмітимо, що число може бути записано через значення тригонометричних функцій і другими способами, наприклад:

.

або

.

Хоча ці представлення числа правильні, важливо розуміти, що вони не є тригонометричною формою запису числа .

Підкреслимо ще раз, що для запису числа a + bi в тригонометричній формі не потрібні всі розв’язки системи (4). Достатньо знати один розв’язок.

Приклад 2. Записати число в тригонометричній формі.

Розв’язування. Потрібен модуль даного числа

.

Аргументи числа z повинні відповідати рівнянню

.

Розв’язок цього рівняння:

.

Так як число розміщене в третьому квадраті комплексної площини, то значення

слід відкинути: вони не задовольняють систему. В якості аргументу числа можна взяти, наприклад, .

Отже,

.

Приклад 3. Представити в показниковій формі комплексне число

.

Розв’язування. Знаходимо модуль числа

і один із його аргументів

(так як знаходиться в четвертому квадраті). Отже,

.

1. Що називається комплексним числом?
2. Що є множиною комплексних чисел?
3. Що таке нормальна форма комплексного числа?
4. Як зобразити комплексне число на площині?
5. Що є тригонометричною формою комплексного числа?
6. Що є показниковою формою комплексного числа?
7. Які комплексні числа називаються спряженими?

Дата добавления: 2017-02-01