Тема 2.2 Дії над комплексними числами

Мета. Ввести поняття арифметичних дій над комплексними числами, використовуючи формулу Муавра, навчитися підносити комплексні числа до степеня та добувати корені з комплексних чисел.

План.

1. Арифметичні дії над комплексними числами.

2. Формула Муавра та її застосування.

1. Найпростіші арифметичні дії над комплексними числами виконуються за формулами:

;

;

.

Ділення комплексних чисел зводиться до множення чисельника та знаменника виразу на число, спряжене до знаменника, в результаті чого знаменник перетворюється в дійсне число:

Зауважимо, що множення і ділення комплексних чисел, а також піднесення в натуральний степінь і добування кореня, як правило, зручно проводити, попередньо записавши комплексні числа в показниковій формі.

Нехай i , тоді

. (1)

Тут ми скористались властивістю комплексного степеня числа е.

Звідси легко отримуємо

. (2)

Приклад 1. Знайти частку .

Розв’язування. Помноживши чисельник та знаменник дробу на число, спряжений знаменнику, отримаємо

.

З означення дії множення комплексних чисел випливає, що для кожного а ≠ 0 існує обернене комплексне число, тобто таке число b, що ab = 1,

Справді. Нехай а = r ( ), b = x( ). Зрозуміло, що 1 = . Тепер маємо:

rx = 1,

φ + y = 0,

звідки x = (r ≠ 0), оскільки a ≠ 0), y = - φ. Отже,

b = a^-1 = .

Цей результат дає можливість ввести дію ділення комплексних чисел. Під часткою розумітимемо розв’язок рівняння ax = b.

Безпосередня перевірка показує, що розв’язком рівняння буде число x = a^-1 ∙ b. Таким чином, якщо a = r (), b = , то

(3)

Отже, маємо таке правило ділення: модуль частки двох комплексних чисел дорівнює відношенню модулів діленого і дільника, а аргумент частки – різниці аргументів діленого і дільника.

2. Якщо a = r ( ) – комплексне число, а n – натуральне число, то, як звичайно покладаємо

n - раз

aⁿ= a ∙ a...... a.

З правила множення випливає, що

. (4)

Формулу (4) називають формулою Муавра.

Оскільки , то .

Це дає можливість множити комплексні числа, записані в нормальній формі. Справді, дії множення і додавання комплексних чисел пов’язані дистрибутивним законом. Звідси випливає, що числа і перемножаються за звичайним правилом розкриття дужок з урахуванням того, що .

. (5)

Легко вивести і формулу ділення комплексних чисел у нормальній формі. Нехай , . Тоді

Цю формулу зручніше запам’ятати у скороченому вигляді.

Для цього введемо таке означення, корисне і в інших випадках. Комплексні числа і називатимемо спряженими. Очевидно, .

Зрозуміло, що точки площини, які відповідають спряженим комплексним числам, розміщені симетрично відносно осі ОX. Зокрема, якщо a – дійсне число (β = 0), то . Якщо a = , то, як легко побачити, . Спряжені комплексні числа мають однакові модулі і протилежні аргументи. Зокрема,

(6)

Добуток спряжених комплексних чисел дорівнює квадрату їх модуля.

Тепер формулу ділення комплексних чисел у нормальній формі можна записати так:

> (7)

Коренем степення n (n ) з комплексного числа a називається таке комплексне число z, що .

Очевидно, якщо а = 0, то , тому далі вважатимемо, що .

Нехай a = – дане комплексне число, а z = – корінь степення n з a. Тоді

.

Рівність двох комплексних означає, що їх модулі однакові, а аргументи їх аргументи різняться на кут, кратний 2π. Отже, . Звідси

(8)

r

Z₁

Z₂

Z₃

причому під слід розуміти додатнє значення корення, оскільки , і

0

s w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> , k . (9)

При k = k₁ і k = k₂ матимемо те саме значення ,

, де l – ціле число, тобто, коли

, або = .

Отже, якщо ділиться на , то при k = k₁ і k = k₂ матимемо той самий корінь степеня з a. Якщо не ділиться на , то відповідні значення α не різнитимуться на кут, кратний 2π, і при k = k₁ і k = k₂ матимемо різні значення . Числа 0, 1, 2, …, , мають ту властивість, що різниця між будь-якими двома з них не ділиться на , бо вона за модулем менша, ніж .

Отже, при k = 0, 1, 2, …, – 1 дістанемо різних значень . Оскільки будь-яке ціле число k можна зап3сати у вигляді

,

де і – цілі числа, причому 0 ≤ ≤ – 1, то інші значення вже не можуть дати нових коренів.

Отже, приходимо до такого висновку: має значень, модулі яких обчислюються за формулою (8) (вони всі рівні між собою), а аргументи подаються формулою (9), в якій треба по черзі покласти k = 0, 1, 2, …, – 1.

При двох послідовних значеннях k матимемо два значення α, що різняться між собою на . Отже, корені лежать на колі радіуса з центрому початку координат і ділять це коло на рівних частин.

Приклад 2. Знайти .

Розв’язування. має два значення ±1.

Приклад 2. Знайти .

Розв’язування.

.

, .

Отже, , .

Приклад 3. Знайти всі значення .

Розв’язування.

.

,

,

,

,

.

Корені , , , ділять коло радіуса на 4 рівні частини. Це точки перетину кола з бісектрисами координатних кутів.

Приклад 4. Знайти всі значення .

Розв’язування.

.

, .

,

,

.

Корені , , ділять коло радіуса 1 на 3 рівні частини.

Особливо цікаві корені степеня n з 1. З попередніх міркувань випливає, що вони ділять коло радіуса 1 з центром у початку координат на n рівних частин, причому, однією з точок поділу буде точка 1 на осі ОX, бо 1 буде одним із значень (при ).

Якщо корені степеня n з 1, то їх добуток і частка також будуть коренями степеня n з 1, як це випливає з рівностей

,

.

Одним із значень буде .

Легко побачити, що числами вичерпуються всі корені з 1. Число називається первинним коренем степеня n з 1.

Якщо а – додатне число, то , тому

,

Ця формула показує, що всі корені степеня n з додатного числа можна дістати, помноживши арифметичне значення кореня з цього числа на всі корені степеня n з 1. Більш загально, усі корені степеня n з будь-якого комплексного числа а можна дістати, помноживши яке-небудь одне значення на всі корені степеня n з 1. Це випливає з рівності

.

Контрольні питання:

1. Як виконувати дії над комплесними числами, записаними в нормальній формі?

2. Як виконувати множення та ділення комплексних чисел, поданих в показниковій формі?

3. Яке число називається оберненим комплексним числом?

4. Запишіть формулу Муавра.

5. Що називається коренем степеня n з комплексного числа?

Дата добавления: 2017-02-01