Рівняння Бернуллі

Стаціонарний рух ідеальної нестисливої рідини в полі сил тяжіння описує рівняння Бернуллі.

L₁

S₁ L₂

p₁ S₁^І

S₂

S₂^І

v₁ v₂

h₁ p₂

h₂

Рис.4.2

Його отримують, застосувавши до руху рідини в тонкій трубці течії закон збереження енерґії. Нехай у місці перерізу S₁ швидкість течії v₁, тиск p₁ і висота, на якій є цей переріз, h₁. Аналогічно у місці перерізу S₂ швидкість течії v₂, тиск p₂ і висота перерізу h₂. За малий проміжок часу t рідина переміщується від перерізів S₁ і S₂ до перерізів S₁^І і S₂^І.

Згідно з законом збереження механічної енерґії, зміна повної енерґії Е₂ - Е₁ ідеальної нестисливої рідини повинна дорівнювати роботі А зовнішніх сил:

Е₂ - Е₁ = А, (4.4)

де Е₁ і Е₂ - повні енерґії рідини масою m у об‘ємах, обмежених перерізами S₁ - S₂ і S₁^І - S₂^І відповідно.

З іншого боку, А - це робота, яка виконується під час переміщення всієї рідини, розташованої між перерізами S₁ і S₂ за малий проміжок часу t. Для перенесення маси m від S₁ до S₁^І рідина повинна переміститися на відстань L₁ = v₁ t і від S₂ до S₂^І - на відстань L₂ = v₂ t. Зауважимо, що L₁ і L₂ настільки малі, що всі точки виділених об’ємів мають сталі значення швидкості v, тиску p і висоти h. Отже,

A = F₁L₁ + F₂L₂, (4.5)

де F₁ і F₂ сили тиску, що діють на рідину в місцях перерізів S₁ і S₂

F₁ = p₁S₁, (4.6)

F₂ = – p₂S₂. (4.7)

Сила F₂ від’ємна, оскільки напрям її дії протилежний до напряму

руху рідини.

Отже: A = p₁S₁L₁ – p₂S₂L₂. (4.8)

Повні енерґії Е₁ і Е₂ складаються з кінетичної та потенціальної енерґії маси m рідини:

E₁ = mv +mgh₁; (4.9)

E₂ = mv +mgh₂. (4.10)

Підставивши вирази (4.9), (4.10), (4.8) у формулу (4.4), та врахувавши вирази для L₁ і L₂ , отримаємо

mv +mgh₁+p₁S₁v₁ t = mv +mgh₂+p₂S₂v₂ t. (4.11)

Згідно з рівнянням нерозривності струменя (4.3) об’єм рідини залишається сталим, тобто

V = S₁v₁ t = S₂v₂ t. (4.12)

Розділивши вираз (4.11) на V і врахувавши, що перерізи вибрані довільно, отримаємо рівняння Бернуллі

+ + p = const, (4.13)

де - густина рідини.

Рівняння Бернуллі стверджує, що:

Дата добавления: 2017-02-01