Методы составления начального опорного плана

Базисный план составляется последова­тельно, в несколько шагов (точнее, m + n - 1 шагов). На каждом из этих шагов заполняется одна клетка, притом так, что, либо пол­ностью удовлетворяется один из заказчиков (тот, в столбце кото­рого находится заполняемая клетка), либо полностью вывозится весь запас груза с одной из баз (с той, в строке которой находится заполняемая клетка).

- В первом случае мы можем исключить столбец, содержащий заполненную на этом шаге клетку, и считать, что задача свелась к заполнению таблицы с числом столбцов, на единицу меньшим, чем было перед этим шагом, но с тем же количеством строк и с соот­ветственно измененным запасом груза на одной из баз (на той базе, которой был удовлетворен заказчик на данном шаге).

- Во втором случае исключается строка, содержащая заполняемую клетку, и счи­тается, что таблица сузилась на одну строку при неизменном количестве столбцов и при соответствующем изменении потреб­ности заказчика, в столбце которого находится заполняемая клетка.

Начиная с первоначально данной таблицы и повторив (m + n - 2) раз описанный шаг, мы придем к “таблице”, состоящей из одной строки и одного столбца (иначе говоря, из одной пустой клетки). Другими словами, мы пришли к задаче с одной базой и с одним потребителем, причем потребности этого единственного заказчика равны запасу груза на этой единственной базе. Заполнив последнюю клетку, мы освобождаем последнюю базу и удовлетворяем потреб­ность последнего заказчика. В результате, совершив (m + n - 1) шагов, мы и получим искомый опорный план.

Замечание. Может случиться, что уже на некотором (но не на последнем!) шаге потребность очередного заказчика окажется рав­ной запасу груза на очередной базе. Тогда после заполнения оче­редной клетки объем таблицы как бы одновременно уменьшается на одни столбец и на одну строку. Но и при этом мы должны считать, что уменьшение объема таблицы происходит либо на один столбец, а на базе сохраняется "остаток" равный нулю, либо на одну строку, а у заказчика еще осталась неудовлетворенная "потребность" в количестве нуля единиц груза, которая и удовле­творяется на одном из следующих шагов. Этот нуль ("запас" или "потребностью" – безразлично) надо записать в очередную заполняе­мую клетку на одном из последующих шагов. Так как при этом оказывается равной нулю одна из базисных неизвестных, то мы имеем дело с вырожденным случаем.

1. Диагональный метод, или метод северо-западного угла. При этом методе на каждом шаге построения первого опорного плана заполняется левая верхняя клетка (северо-западный угол) остав­шейся части таблицы. При таком методе заполнение таблицы начи­нается с клетки неизвестного x ₁₁ и заканчивается в клетке неизвест­ного x_mn, т. е. идет как бы по диагонали таблицы перевозок.

Пример

Заполнение таблицы начинается с ее северо-западного угла, т.е. клетки с неизвестным x ₁₁. Первая база A ₁ может полностью удовле­творить потребность первого заказчика B ₁ (a ₁=300, b ₁=170, a ₁ > b ₁). Полагая x ₁₁= 170, вписываем это значение в клетку x ₁₁ и исключаем из рассмотрения первый столбец. На базе A ₁ остается измененный запас . В оставшейся новой таблице с тремя строками A ₁ ,A ₂ ,A ₃ и четырьмя столбцами B ₁ ,B ₂ ,B ₃ ,B ₄; северо-западным углом будет клетка для неизвестного x ₁₂. Первая база с запасом может полностью удовлетворить потребность второго заказчика B ₂ . Полагаем x ₁₂ = 110, вписываем это значе­ние в клетку x ₁₂ и исключаем из рассмотрения второй столбец. На базе A ₁ остается новый остаток (запас) . В оставшейся новой таблице с тремя строками A ₁ ,A ₂ ,A ₃ и тремя столбцами B ₃ ,B ₄ ,B ₅ северо-западным углом будет клетка для неизвестного x ₁₃. Теперь третий заказчик B ₃ может принять весь запас с базы A ₁ . Полагаем x ₁₃ = 20, вписываем это значение в клетку x ₁₃ и исключаем из рассмотрения первую строку. У заказ­чика из B ₃ осталась еще не удовлетворенной потребность .

Теперь переходим к заполнению клетки для неизвестного x ₂₃ и т.д.

Через шесть шагов у нас останется одна база A ₃ с запасом груза (остатком от предыдущего шага) и один пункт B ₅ с потреб­ностью b ₅=200. Соответственно этому имеется одна свободная клетка, которую и заполняем, положив x ₃₅=200. План составлен. Базис образован неизвестными x ₁₁ ,x ₁₂ ,x ₁₃ ,x ₂₃ ,x ₂₄ ,x ₃₄ ,x ₃₅. Правиль­ность составленного плана легко проверить, подсчитав суммы чисел, стоящих в заполненных клетках по строкам и столбцам.

Общий объем перевозок в тонно-километрах для этого плана составит

2. Метод наименьшей стоимости. При этом методе на каждом шаге построения опорного плана первою заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф. Если такая клетка не единственная, то заполняется любая из них.

Дата добавления: 2017-02-01