Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Однородные системы


Исследование систем линейных уравнений

(19.1)

 

Ее матричная форма записи есть: (19.2)

 

Аx – линейный оператор, переводящий множество столбцов в множество столбцов по формуле .

Теорема 19.1:

Пусть– решение, а– решение, тогда- решения.

, а решение системы .

 

(19.7)

 

Её матричная форма записи:

 

(19.8)

 

Определения:

Система (19.7) - однородная система линейных уравнений.

Система (19.1) - неоднородная система линейных уравнений.

(при , т.е. )

Т.е. всякое решение однородной системы (19.8) является ядром линейного оператора. Поэтому множество решений однородной системы (19.8) является линейным пространством.

Теорема 19.2: Множество решений системы (19.7) – линейное пространство размерностью n-r, где r – ранг матрицы А.

Определение:Базисным называется не равный нулю минор матрицы А, порядок которого равняется рангу матрицы.

Определение:Базис во множестве решений однородной системы (19.8) называется фундаментальной системой решений.

 

Пусть базисный минор содержит столбцы . Тогда базисные неизвестные, а остальные – свободные неизвестные. Будем считать далее, что неизвестные – базисные, а– свободные неизвестные.

Положим – матрица, соответствующая базисному минору у матрицы системы (19.7), а – остальные столбцы матрицы этой системы с противоположным знаком. Тогда, перенеся члены со свободными неизвестными в правые части всех уравнений системы (19.7), получим уравнение:

(19.9)

А так как матрица в левой части (19.9) - невырожденная, то система (19.9) имеет единственное решение, т.е. каждому набору свободных неизвестных соответствует единственный набор базисных неизвестных.

 

Доказательство теоремы 19.2:

Рассмотрим наборы:

(19.10)

Пусть – решение , – решение , …, – решение системы

Пусть (19.12)

Покажем, что – базис в пространстве решений (19.7).

1)Линейная независимость:

Пусть, т.е.

или (19.13)

Сравнивая в левых и правых частях столбцов равенство (19.7) их нижних n-r чисел, получаем, что , т.е. система – линейно независима.

2) Полнота

Пусть – произвольное решение системы (7), тогда имеем (19.14)

(докажите равенство (19.14) используя определение в (19.10))

Но согласно формуле (19.9), базисные неизвестные однозначно определяются из системы

(19.15)

поэтому из теоремы 19.1 и равенства (19.15) имеем: (19.16)

Соединяя столбцы в равенство (19.14) и (19.1Б) (сверху напишем столбцы из (19.16), снизу из (19.14)) и используя определение (19.12), получим: (19.17)

Равенство (19.17) означает, что всякое решение системы (19.7) выражается через решения по формуле (19.17). Поэтому совокупность решений – полна, и, сопоставляя с ранее доказанной линейной независимостью , получим, что – базис, имеющий (n-r) решений. Теорема 19.2 полностью доказана.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Линейный оператор | Решение неоднородных систем

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 161; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.