План Хартли

Центральный композиционный план Бокса

Лекция №6

Центральный композиционный план второго порядка называют планом Бокса, если его ядром является ПФЭ 2^k или реплика типа 2^k-p, для которой любые парные взаимодействия не равны по модулю линейным переменным, т.е. x_i¹±x_jx_l.

В теории планирования эксперимента доказывается (см. В.А.Асатурян, Теория планирования эксперимента, М., 1983), что для количества факторов k<5 ядром плана Бокса может быть только ПФЭ 2k, а для количества факторов k³5 ядром может быть и ½-реплика, и реплика большей дробности. При этом должно быть учтено, что реплика должна иметь разрешающую способность не менее 5.

Рассмотрим матрицу плана Бокса для двух факторов:

x0	x1	x2	x1x2	x1^2	x2^2
	-1	-1
		-1	-1
	-1		-1
	-a			a^2
	a			a^2
		-a			a^2
		a			a^2

Ядро плана здесь – ПФЭ 2².

Для k=5 ядром плана Бокса кроме ПФЭ может быть ½-реплика 2_v^5-1, задаваемая генерирующим соотношением, например, x₅=x₁x₂x₃x₄, или определяющим контрастом +1=x₁x₂x₃x₄x₅. Если расписать для такого плана систему смешивания, то можно видеть, что парные взаимодействия в нем не равны линейным коэффициентам, т.е. выполняется условие существования плана Бокса.

Еще один план бокса можно построить, если изменить знак ООК: - 1=x₁x₂x₃x₄x₅.

Поскольку для построения плана может использоваться дробная реплика, то количество опытов может быть различным. План Бокса называется минимальным, если количество опытов в нем минимально из всех возможных.

Например, при k=5 планы Бокса будут минимальными в случае использования ½-реплики. Число опытов в таком плане равно 2^5-1+2*5+1=27, а в случае использования ПФЭ количество опытов будет 2⁵+2*5+1=43.

В случае, когда возникает необходимость применения планов с небольшой избыточностью опытов, применяют планы Хартли. Небольшая избыточность имеет смысл в тех случаях, когда строится квадратичная модель с учетом некоторых взаимодействий, т.е. помимо коэффициентов при факторах и их квадратах определяются еще коэффициенты и при произведениях.

Центральный композиционный план второго порядка называется планом Хартли, если в качестве его ядра используется дробная реплика, в которой некоторые парные взаимодействия равны по модулю линейным переменным.

Для построения ядра плана Хартли используются только дробные реплики и только с разрешающей способность III.

Например, для k=4 план Хартли строится следующим образом.

В качестве генерирующего соотношения может быть взято одно из следующих: x₄=x₁x₂, x₄=x₁x₃, x₄=x₂x₃.

Выберем первое. Тогда определяющий контраст имеет вид 1=x₁x₂ x₄.

Получим парные взаимодействия:

x₁x₂=x₄, x₁x₃=x₂x₃x₄, x₁x₄=x₂; x₂x₃=x₁x₃x₄, x₂x₄=x₁, x₃x₄=x₁x₂x₃.

Видно, что парные взаимодействия не равны между собой, но некоторые из них равны линейным коэффициентам. Следовательно, рассмотренная реплика – ядро плана Хартли. Построим его.

х1	х2	х3	х4
-1	-1	-1
-1	-1
-1		-1	-1
-1			-1
	-1	-1	-1
	-1		-1
		-1
-a
a
	-a
	a
		-a
		a
			-a
			a

Поскольку в планах Хартли допустимо смешивание парных и линейных коэффициентов, то в них количество опытов меньше, чем в планах Бокса. Это видно из следующей таблицы, в которой сравниваются минимальные планы Бокса и минимальные планы Хартли.

Число факторов	План Бокса	План Хартли
ядро	число опытов	ядро	число опытов
	ПФЭ 2^3		Реплика 2^3-1
	ПФЭ 2^4		Реплика 2^4-1
	Реплика 2^5-1		Реплика 2^5-1
	Реплика 2^6-1		Реплика 2^6-2
	Реплика 2^7-1		Реплика 2^7-2

Дата добавления: 2014-01-04