Ортогональный план Бокса

Напомним, что под ортогональностью плана понимается выполнение следующего условия:

.

Ортогональность плана является важным условием простоты вычислительных процедур при определении оценок коэффициентов. В случае, если план не ортогональный, нельзя использовать для оценки коэффициентов модели соотношения

.

В общем случае план Бокса не является ортогональным. Однако его можно сделать ортогональным соответствующим подбором «звездного» плеча a.

Если взглянуть на матрицу плана Бокса, то можно видеть, что, например, столбцы нулевого фактора и квадратов факторов не являются ортогональными. Не ортогональны также столбцы квадратов факторов между собой и т.д.

Для того, чтобы сделать план ортогональным применяется преобразование модели (функции отклика) и выбор «звездного» плеча плана.

С этой целью вместо квадратичных членов вводятся новые:

.

После чего модель приводится к виду:

где .

Легко видеть, что

.

т.е. .

Матрица плана в этом случае имеет вид:

x0	x1	x2	x1x2	x1^’	x2^’
	-1	-1		1-c	1-с
		-1	-1	1-c	1-с
	-1		-1	1-c	1-с
				1-c	1-с
	-a			a^2-c	-c
	a			a^2-c	-c
		-a		-c	a^2-c
		a		-c	a^2-c
				-c	-c

Аналогично строится матрица плана и для трех факторов.

Значение a вычисляется по формуле , а значение

Для двух факторов имеем:

N₀=4, N=9 и a=1, а с=2/3.

Для трех факторов

N₀=8, N=15 и a=1.215, а с=(8+2×(1.215)²)/15=0.730.

Значения µ и с для различного числа факторов приведены в таблице:

Число факторов
Ядро	2^2	2^3	2^4	2^5-1
µ		1,215	1,414	1,547
с	0,667	0,730	0,8	0,831
µ^2-с	0,333	0,682	0,774	0,856

Приведем также таблицу значений матрицы центрального ортогонального композиционного плана Бокса для трех факторов:

	х1	х2	х3	x1^’	x2^’	x3^’
Ядро	-1	-1	-1	0,27	0,27	0,27
-1	-1		0,27	0,27	0,27
-1		-1	0,27	0,27	0,27
-1			0,27	0,27	0,27
	-1	-1	0,27	0,27	0,27
	-1		0,27	0,27	0,27
		-1	0,27	0,27	0,27
			0,27	0,27	0,27
«*»	-1,215			0,682	-0,73	-0,73
1,215			0,682	-0,73	-0,73
	-1,215		-0,73	0,682	-0,73
	1,215		-0,73	0,682	-0,73
		-1,215	-0,73	-0,73	0,682
		1,215	-0,73	-0,73	0,682
«0»				-0,73	-0,73	-0,73

Дата добавления: 2014-01-04