Властивості неперервних функцій

1. Якщо функції f (x) і g (x) неперервні в точці x ₀, то їх сума f (x) + g (x), добуток f (x)× g (x) та частка (при умові, що g (x ₀) ¹ 0) є функціями, неперервними в точці x ₀.

Ця властивість є наслідком означення неперервності і властивості границь 4 а),б) та в).

2. Якщо функція и (x) неперервна в точці x ₀, а функція f (x) неперервна в точці и ₀ = и (x ₀), то складена функція f (и (x)) неперервна в точці x ₀.

Ця властивість також випливає з означення неперервності і властивості границь 4 г).

3. Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [ a, b ], то вона обмежена на цьому відрізку.

Цей факт ілюструє рис. 4.4, на якому видно, що множиною значень функції, неперервної на відрізку [ a, b ], є також відрізок [ с, d ].

4. Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [ a, b ]. Тоді на цьому відрізку існує точка x ₁, в якій функція f (x) приймає своє найменше на відрізку [ a, b ] значення, і існує точка x ₂, в якій функція f (x) приймає своє найбільше на відрізку [ a, b ] значення.

у

На малюнку 4.4 видно, що найменшим і найбільшим значеннями функції f (x) на відрізку [ a, b ] є відповідно числа с і d. Але число с є значенням функції f (x) в деякій точці x ₁: f (x ₁) = с, а число d є значенням функції f (x) в деякій точці x ₂: f (x ₂) = d, які належать відрізку [ a, b ].

y = f (x)

x

b = x ₁

a

x ^*

x ₁

c

O

p

d

Рис. 4. 4

5. Функція, неперервна на відрізку, приймає на цьому відрізку всі проміжні значення поміж своїм найменшим і своїм найбільшим значен-нями. Іншими словами для будь-якого числа p, що задовольняє нерівність f (x) < p < f (x), існує принаймні одна точка x ^* Î [ a, b ] така, що f (x ^*) = p.

Повернемось до рис. 4.4. Візьмемо довільне число р так, щоб здійснювалась нерівність с < p < d і проведемо пряму у = p. Графік функції – суцільна лінія, розташована між прямими у = с і у = d, тому пряма у = p, що теж лежить між цими прямими, неодмінно перетне графік функції f (x) хоча б в одній точці. Абсциса точки перетину і є x ^*, бо в цій точці у = f (x ^*) = р. На рис. 4.4 таких точок навіть дві.

Наслідок. Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [ a, b ] і на його кінцях приймає значення протилежних знаків, то в інтервалі (a, b) є принаймні одна точка x ^*, в якій f (x ^*) = 0.

Можна показати, що всі основні елементарні функції (див. п. 4.4) неперервні в своїй області визначення. Тоді з властивостей 1 і 2 неперервних функцій та з означення елементарних функцій (див. п. 4.4) випливає

Теорема (про неперервність елементарних функцій). Усяка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.

Дата добавления: 2014-01-04