Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Матричний спосіб розв’язання систем





Система п лінійних алгебраїчних рівнянь з п невідомими.

 

Нехай задано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з невідомими:

(1.9)

Означення. Система (1.9) називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Сумісність системи означає, що існує принаймні один набір чисел , який при підстановці в рівняння системи перетворює їх у вірні рівності.

Запишемо коефіцієнти при невідомих з кожного рівняння системи у відповідний рядок матриці:

. (1.10)

Цю матрицю називають основною матрицею системи (1.9). Розглянемо матричний запис і матричний спосіб розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими. Така система називається квадратною.В цьому випадку матриця системи є квадратною. Потрібні міркування проведемо на прикладі системи трьох рівнянь з трьома невідомими, але всі висновки залишаються вірними для будь-якого . Отже розглянемо систему

(1.11)

Запровадимо позначення:

; ; . (1.12)

Тоді, використовуючи правило множення матриць (1.7), систему (1.11) можна записати в еквівалентній матричній формі:

(1.13)

де А –матриця системи, В – задана матриця -стовпець, Х – невідома матриця -стовпець. Розв’язком рівняння (1.13) є такий вектор-стовпець Х, який обертає рівняння (1.13) у вірну рівність.

Якщо , то існує обернена до А матриця . Помножимо рівняння (1.13) почленно зліва на і скористаємося властивостями множення матриць:

.

Отже розв’язок рівняння (1.13) дається формулою

. (1.14)

Ця формула особливо зручна, коли потрібно розв’язувати системи з однією і тією ж матрицею А і різними стовпцями правих частин B.

Таким чином, якщо матриця квадратної СЛАР невироджена, система має єдиний розв’язок.

Приклад. Розв’язати систему

Тут

Матрицю, обернену до матриці А, було обчислено в попередньому пункті:

.

Тоді за формулою (1.14)

 

.

Відповідь: х=2,5; у=1,5;





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 759; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.