Проекція вектора на вісь

Рис. 2. 4.

Нехай – напрямлена пряма, тобто пряма, на якій задано додатний напрям. Якщо на цій прямій задано початок відліку і масштаб, вона стає числовою прямою, тобто віссю. Нехай – будь-який вектор (рис. 2.4). Проведемо перпендикуляри до осі з точки А (з основою ) і з точки В (з основою ).

Означення. Проекцією вектора на вісь називається довжина відрізка , взята з додатним знаком, якщо напрями вектора і осі однакові, і з від’ємним знаком, якщо напрями вектора і осі протилежні. Проекція вектора на вісь позначається або . Таким чином

=

Аналогічним чином визначається і проекція одного вектора на другий; в цьому разі перпендикуляри проводяться до прямої, на якій лежить цей другий вектор, а її напрямом вважається напрям цього вектора.

Відзначимо основні властивості проекцій.

1) При паралельному переносі вектора його проекція не змінюється (рис. 2.4).

2) Проекція = 0 тоді і тільки тоді, коли .

3) На рис. 2.4 з Dбачимо, що

. (2.1)

Рис. 2.5

Тут = α – кут між вектором та віссю. Таким чином, знак проекції визначається знаком : якщо , то кут гострий і косинус додатний, а якщо , то цей кут тупий і косинус від’ємний.

4) Проекція суми векторів дорівнює сумі їх проекцій (рис. 2.5):

. (2.2)

5) Числовий множник можна винести за знак проекції:

. (2.3)

Це випливає, наприклад, з формули (2.1).

Дата добавления: 2014-01-04