Мішаний добуток трьох векторів

Означення. Мішаним або векторно-скалярним добутком трьох упорядкованих векторів , і називається скалярна величина .

Мішаний добуток позначається символом .

Рис. 2. 14

Геометричний зміст мішаного добутку. Розглянемо паралелепіпед, побудований на векторах , і (рис. 2.14). Площа основи цього паралелепіпеда , а висота =, де знак плюс відповідає гострому куту (в цьому випадку вектори , , утворюють праву трійку), а знак мінус – тупому куту (в цьому випадку , , – ліва трійка). Отже, згідно з означенням скалярного добутку (2.11)

= =,

де – об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і , знак плюс відповідає правій трійці векторів , , , а знак мінус – лівій трійці.

Геометричне тлумачення мішаного добутку дозволяє сформулювати основні його властивості.

1) При циклічному переставленні співмножників мішаний добуток не змінюється:

= .

Справді, при такому переставленні не змінюються ні паралелепіпед (рис. 2.14), ні орієнтація трійки.

2) Мішаний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі три вектори компланарні.

Справді, компланарність співмножників означає, що паралелепіпед вироджується в плоску фігуру, тобто має нульовий об’єм.

Дата добавления: 2014-01-04