Вираз мішаного добутку через координати співмножників

Нехай , і .

Враховуючи вираз векторного добутку (2.23):

і формулу (2.16) для скалярного добутку, одержимо

.

Розглядаючи цей вираз як розкладання визначника третього порядку за елементами третього рядка, дістанемо остаточно

. (2.24)

Зокрема має місце

Теорема (ознака компланарності трьох векторів).

Вектори , і компланарні тоді і лише тоді, коли

. (2.25)

Це твердження випливає з властивості 2) мішаного добутку і формули (2.24).

Приклад 1. Обчислити об’єм тетраедра (трикутної піраміди) з вершинами , , , .

Даний тетраедр побудований на векторах , , як на ребрах. Його об’єм дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах (див. рис. 2.15). Таким чином об’єм тетраедра дорівнює

Рис. 2. 15 .

За формулою (2.7) знаходимо: , , . За формулою (2.24)

.

Таким чином

(од. об’єму).

Приклад 2. З’ясувати, чи лежать точки , , , в одній площині.

Очевидно точки A, B, C i D лежать в одній площині тоді і тільки тоді, коли вектори , і компланарні. Знаходимо координати цих векторів:

, , .

Скористаємося ознакою компланарності (2.25)

.

Отже вектори , і компланарні, а точки A, B, C i D лежать в одній площині.

*) Гаусс Карл (1777-1855) – видатний німецький математик.

Дата добавления: 2014-01-04