Производная ФНП по направлению. Свойства градиента ФНП

Пусть ФНП f дифференцируема в точке а и задан вектор

, определяющий в D_f некоторое направление.

Запишем для точки формулу Тейлора 1 порядка:

Определение 1.6 Производной ФНП f в точке а в направлении r называется число

равное скалярному произведению градиента функции в точке на единичный вектор направления.

Замечания.

1. Модуль определяет «скорость изменения» функции в точке в направлении , а «знак» - возрастание или убывание функции f в точке в заданном направлении:

2. Из свойства скалярного произведения векторов следует, что функция f с наибольшей скоростью V_max=|grad f(a)| возрастает в направлении и убывает в направлении

Пример. f(x,y)=xe^xy; a =[1;2]^t; r =[1;1]^t. Найти в точке a производную функции f по направлению r

è grad f(a)=e²[3;1]^t;

ЭКЗ-5 Найти в точке А(1,2,3) производную функции g(x,y,z)= x²y - xy² +2xyz² в направлении
радиус-вектора точки А.

Дата добавления: 2014-01-04