Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

П Л А Н. 1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними





Завдання додому.

1) Конспект; [1] с. 421 - 451;

[2] с. 325 – 339.

Питання для самоконтролю

1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

2. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Л Е К Ц І Я 29

 

Тема: Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

Мета: сформувати поняття лінійного диференціального рівняння другого порядку; ознайомити з однорідними та неоднорідними рівняннями.

Література: [1, с. 470-482]; [6, с. 449-459].

1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

2. Однорідні та неоднорідні рівняння.

 

1. Розглянемо диференціальні рівняння другого порядку:

- запис рівняння в неявному вигляді;

- нормальний (або явний) запис диференціального рівняння другого порядку.

Розв’язком рівняння на деякому інтервалі (a; b) називається неперервна функція на цьому інтервалі, для якої існують похідні 1-го та 2-го порядку, така, що при підстановці в дане рівняння перетворює його в тотожність.

Графік розв’язку диференціального рівняння називається його інтегральною кривою.

Для диференціальних рівнянь вищих порядків, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими умовами.

Для рівнянь другого порядку ця задача ставиться так: серед усіх розв’язків рівняння знайти такий розв’язок , , який при задовольняє умови:

,

Розглянемо види диференціальних рівнянь другого порядку:

а) Неповні (містять тільки і функцію, яка залежить від х): .

Щоб знайти загальний розв’язок такого рівняння, потрібно праву частину проінтегрувати два рази.

Приклад: Знайти загальний розв’язок рівняння .

,

.

Відповідь:

2. б) Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами – це рівняння виду

, де - дійсні числа.


Якщо , то рівняння називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами (ЛОДР).

Якщо , то таке рівняння називається неоднорідним (ЛНДР).

Розглянемо спочатку розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

 

Теорема (про структуру загального розв’язку ЛОДР)

Якщо функції та є розв’язками рівняння (*), то функція також буде розв’язком ЛОДР при умові, що та - лінійно незалежні, тобто .

- загальний розв’язок ЛОДР.

Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді , де k – стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти.

,

,

, тоді - характеристичне рівняння

лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку.

Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2 .

 



Формули для загального розв’язку ЛОДР

 

1) Якщо k1k2 (дійсні, різні числа) (дискримінант D>0), то

 
 

 

 


2) Якщо k1=k2 (дійсні, рівні числа)

(D=0), то

 

3) Якщо k1, 2 = (комплексно - спряжені числа) (D<0), то

 
 

 

 


Приклади: Знайти загальний розв’язок:

1)

складаємо характеристичне рівняння

2)

Розглянемо розв’язки лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

.

 

Теорема (про структуру загального розв’язку ЛНДР)

Загальний розв’язок ЛНДР являє собою суму загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і довільного частинного розв’язку даного рівняння.

, де у0 – загальний розв’язок відповідного ЛОДР,

у* - частинний розв’язок ЛНДР.

 

Є рівняння із спеціальною правою частиною, для яких знайдені частинні розв’язки.

1) , де - многочлен (поліном) степеня n.

 
 


, де

 

- многочлен (поліном) степеня n з невідомими коефіцієнтами;

 

r знаходимо з умови:

1. r=0, якщо (k1 і k2 – корені характеристичного рівняння).

2. r=1, якщо k1 =0 (або k2 =0).

 

Приклад: Знайти загальний розв’язок рівняння: .

у0 - ?

у* - ?

=

так як k1 = 0, то r = 1

Потрібно знайти А, В, С:

Підставимо в дане рівняння:

Застосуємо метод невизначених коефіцієнтів:

 

- загальний розв’язок рівняння.

2) , де М і - сталі числа.

 
 


, де А – невідоме число;

 

r знаходимо з умови:

1. r = 0, якщо

2. r = 1, якщо (або )

3. r = 2, якщо

Приклад:

у0 - ?

у* - ?

так як , то r = 1

Підставимо в дане рівняння:

,

,

,

- загальний розв’язок

3) , де M і N – сталі числа.

 
 


, де А і В – невідомі числа;

 

r знаходимо з умови:

1. r = 0, якщо

2. r = 1, якщо

 

Приклад:

у0 - ?

Підставимо в дане рівняння:

;

;

- загальний розв’язок

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 224; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.013 сек.