Дедуктивного рассуждения)

Правила образования языка в алфавите (синтаксис языка).

Для описания правил введем понятие метасимвол. Метасимвол – это не принадлежащее языку обозначение, которое позволяет вводить понятия и свойства этого языка, а также указать порядок, в котором должны применяться правила языка.

Введем 4 метасимвола для иллюстрации заданных правил примерами:

1) x 2) y 3) (4)). Метасимволы x и y будут служить для обозначения формул, а скобки (и) – для указания порядка применения правил.

Правила образования языка в алфавите следующие:

Базисное правило: всякое высказывание есть формул а.

Правило индукционного шага: если x и y – формулы, то - тоже формулы.

Правило ограничения: формулы могут образовываться только по правилам 1 и 2.

Других правил нет.

Как же метасимволы скобок указывают на порядок применения правил? Рассмотрим пример.

Пусть, х (p/\(q\/r)). При построении формулы х правило индукционного шага применялось дважды: первый раз – при построении формулы (q\/r) из формулы q и r, а второй – при построении заключительной формулы из формул p и (q\/r). Указанные правила образования языка в алфавите используются для представления составных сколь угодно сложных высказываний.

Формулы языка делятся на атомы или атомарные формулы и формулы (без эпитетов), к которым относятся все составные формулы, т.е. формулы, образованные с помощью связок, а атомы – это неделимые (исходные) высказывания.

3.2.3. Правила присвоения истинностных значений формулам

(семантика языка)

По определению атом может иметь только два значения: либо ‘‘истина‘‘ (И) либо ‘‘ложь‘‘ (Л). Каждое из этих значений называют истинностным. Правила присвоения истинностных значений формулам 5-ти связок представлены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

x	y	x	x Ù y	x Ú y	x É y	x º y
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л	Л	И	И

Введем ряд новых понятий, которые понадобятся при рассмотрении следующих аспектов исчисления высказываний.

1) «Интерпретировать формулу» - приписать ей одно из двух значений истинности И или Л.

2) «интерпретация для формулы» - это набор истинностных значений всех атомов, входящих в формулу, предназначенный для одновременной замены ими самих атомов в этой формуле. Формула, содержащая К различных высказываний, допускает 2^к интерпретаций.

Проиллюстрируем эти два понятия на примерах интерпретации некоторых формул (табл. 3.3):

Таблица 3.3

x y z	y É z	x É(yÉz)	x Ù y	(x Ù y)Éz	w	w
И И И	Л	И	И	И	И	Л
И И Л	Л	Л	И	Л	И	Л
И Л И	И	И	Л	И	И	Л
И Л Л	И	И	Л	И	И	Л
Л И И	И	И	Л	И	И	Л
Л И Л	Л	И	Л	И	И	Л
Л Л И	И	И	Л	И	И	Л
Л Л Л	И	И	Л	И	И	Л

Первые три столбца каждой строки являются одной из возможных интерпретаций.

3) семантика языка -это полный набор правил интерпретации формул. Это вся таблица 3.2.

4) «Общезначимость формулы» -это истинность формулы при всех возможных её интерпретациях. (w в табл. 3.3)

5) «противоречивость формулы» (невыполнимость) - это ложность формулы при всех возможных её интерпретациях (w в табл.3.3)

6) «эквивалентность формул» - формулы x и y эквивалентны, когда истинностные значения x и y совпадают при каждой общей интерпретации для x и.

7) «Литера» -это атом или его отрицание.

8) «дизъюнкция формул» - это формула X, образованная из исходных формул F₁,F₂,...,F_n с помощью дизъюнктивной (и только) связки:

X = F₁F₂,...F_n.

9) «Конъюнкция формул» -это формула Y, образованная из исходных формул F₁,F₂,...,F_n с помощью конъюнктивной (и только) связки:

Y = F₁F₂,... F_n.

10) «Дизъюнкт» - это формула Z, образованная из исходных литер (и только литер) с помощью дизъюнктивной (и только) связки:

Z = A₁ A₂ A₃,...A_n.

Эквивалентом дизъюнкта является множество входящих в него литер:

Z = A₁ A₂,...A_m {A₁ , A₂ ,..., A_m}

11) «R - литерный дизъюнкт» - это дизъюнкт, в котором R литер.

12) «Единичный дизъюнкт» - это дизъюнкт с одной литерой.

13) «Пустой дизъюнкт» - это дизъюнкт, в котором нет литер. Т.к. он не содержит литер, которые могли бы быть истинными при некоторой интерпретации, он всегда ложен

14) «Область действия логических связок» - при бесскобочной записи эта область упорядочена по убыванию и соответствует последовательности º, É, Ù, Ú,.

15) Дизъюнктивная нормальная форма» - это формула

F= F₁F₂,...F_n, где F_i - конъюнкция литер.

16) Конъюнктивная нормальная форма» -

F=F₁F₂,... F_{n ,} где F_i - дизъюнкция литер.

17) «Выполнимая формула» - формула выполнима тогда и только тогда, когда существует, по крайней мере, одна интерпретация, при которой эта формула истинна. Эта интерпретация называется моделью формулы.

18) «Контрарная пара формул» - это множество { A, A}

19) «Тавтология» - общезначимая формула, истинная во всех её интерпретациях. Дизъюнкт, содержащий контрарную пару, является тавтологией.

20) «Приведенная КНФ» - это КНФ, из которой удалены тавтологии и повторения литер в пределах одного итого же дизъюнкта. Вернуться

3.2.4. Правила вывода в исчислении высказываний (стереотипы

Стереотипы выработаны за многие десятки лет, а некоторые за многие сотни лет и позволяют осуществлять корректные, т.е. без нарушения отношения логического следования, переходы от одних теорем к другим с целью приведения структуры рассуждения к канонической форме (к приведенной КНФ). Сущность канонической формы будет раскрыта в 3.2.2.6, а сейчас, до обсуждения правил вывода, введем ряд новых понятий, без которых это обсуждение невозможно.

Понятие «отношение логического следования».

Формула G является логическим следствием формул F₁,F₂,...,F_n тогда и только тогда, когда для каждой интерпретации I, в которой (F₁F₂,... F_n.)- истина, G также истина. F₁,F₂,...,F_n называются посылками, а G - заключением в отношении логического следования.

Понятие «необходимые и достаточные условия логического следования».

Формула G тогда и только тогда является логическим следствием F₁,F₂,...,F_n, когда формула ((F₁F₂,... F_n.)G) - общезначима или, когда формула (F₁F₂,... F_n Ù G) -противоречива.

Понятие «теорема в дедуктивном рассуждении.

Если формула G является логическим следствием формул F₁,F₂,...,F_n, то формула ((F₁F₂,... F_n) G) называется теоремой, а G называется заключением теоремы.

Понятие «доказательство в дедуктивном рассуждении» (т.е. в исчислении).

Доказательство - это аргументированное обоснование того, каким образом заключение в теореме логически следует из её посылок. Представляется доказательство в виде упорядоченной последовательности (следа) умозаключений, в результате которых устанавливается истинностное значение заключения.

Теперь о правилах вывода в исчислениях высказываний.

Для обозначения отношения логического следования введем новый метасимвол (горизонтальная черта). Будем использовать этот метасимвол для разделения теорем – посылок и теорем – заключений. Над чертой будем записывать список теорем-посылок, под чертой - теорему-заключение. Указанная форма записи теорем будет свидетельствовать о том, что теорема – заключение является логическим следствием теорем – посылок.

Метасимвол; (точку с запятой) будем использовать в качестве разделителя в списке теорем.

Метасимвол, (запятую) будем использовать в качестве разделителя посылок внутри теоремы, имитирующего конъюнктивную связку.

Метасимвол (прямоугольник) будем использовать для обозначения противоречивых формул.

Рассмотрим следующий пример использования отношения логического следования:

Если барометр падает, то будет дурная погода;

Барометр падает

Будет дурная погода

Перечень правил вывода следующий:

1) Г É F; Г É Y 2) Г É FÙY 3) Г É FÙY 4) Г É F

Г É FÙY Г É F Г ÉY Г ÉYÚY

5) Г É Y 6) Г,F É Y; Г,C É Y; Г É FÚC 7) Г,F É Y

Г É FÚY Г ÉY Г É YÉY

8) Г É F;Г É F ÉY 9) Г, ù F É 10) Г É F;Г É ù F

Г ÉY Г É F Г É

11) Г,F,Y, Г₁ É C 12) Г É F

Г, Y,F, Г₁ É C Г, Y É F

Правила 1, 2 и 3, эксплуатируя сущность конъюнктивной связки, позволяют упростить модель теоремы.

Правила 4 и 5, эксплуатируя сущность дизъюнктивной связки, позволяют в заключении теоремы вводить новые дополнительные формулы.

Правило 6 формирует способ рассуждения «разбор» двух возможных случаев. Если при выполнении посылок Г справедливо Ф или Х, а Y справедливо при выполнении условий Г и Ф, а также при выполнении условий Г и Х, то Y всегда справедливо при выполнении посылок Г, что устанавливается путем рассмотрения двух возможных случаев:

а) выполнены условия Г и Ф;

б) выполнены условия Г и Х.

Правило 7 формализует прием эквивалентной перефор-мулировки теоремы, позволяющей одну из посылок теоремы помещать в заключение в виде посылки.

Правило 8 - правило вывода (отделения), modus ponens, введенное ещё Аристотелем. Оно указывает, как можно освобождаться от посылки в заключении.

Правило 9 - формализует «рассуждение от противного». Пусть, условие Г и ù Ф могут одновременно выполняться. Приходя к противоречию, заключаем, что из выполнимости Г всегда вытекает выполнимость Ф.

Правило 10 - это правило «обнаружения противоречия».

Правило 11 - перестановка посылок не влияет на истинность заключения.

Правило 12 - добавляя лишнюю посылку, мы не нарушаем истинность заключения теоремы.

Выводы: правила вывода 1-12 являются функционально полным набором правил, применяя которые к исходным аксиомам и доказанным теоремам, можно в конце концов получить доказательство истинного значения заключения в теореме - цели. Однако обязательными требованиями построения доказательства с помощью правил вывода 1-12 являются следующие:

1) исходными посылками должны быть только аксиомы и доказанные теоремы.

2) с помощью правил вывода 1-12 (и только этих правил) можно строить композиции аксиом и доказанных теорем, стремясь в итоге получить заключение теоремы-цели. Эти два требования соответствуют стереотипу классического дедуктивного рассуждения, иногда называемого прямой дедукцией, т.е. рассуждения от истинных абстрактных посылок (аксиом и доказанных теорем) к истинному конкретному заключению. Примеры несоблюдения требований:

 а) Все металлы - элементы;

б) Бронза - металл

Бронза - элемент

Вывод ошибочен: бронза не является элементом. Здесь нарушен закон тождества, который запрещает в процессе данного умозаключения в одно и то же понятие вкладывать различное содержание. В посылках употреблен металл не в одинаковом смысле. В а) металл - химический элемент, а в б) - металл - это вещество, используемое в хозяйстве, производстве.

‚ Бэкон и Гоббс были египтянами

Бэкон и Гоббс были идеалистами

Некоторые идеалисты были египтянами

Вывод в умозаключении верный, однако, обе посылки ложны: Бэкон и Гоббс были англичанами и материалистами.

Практика показала, что способ доказательства теорем прямой дедукцией чрезвычайно неэффективен по следующей причине. Структура композиций на промежуточных шагах преобразований является случайной в связи с тем, что не существует критериев и управляющих воздействий, которые целенаправленно ориентировали бы эти композиции к заданной цели. Поэтому не исключена возможность ухода в сторону от цели, что чаще всего и бывает на практике. Из этого вытекает глобальный вывод о неэффективности прямой дедукции при доказательстве теорем. В связи с этим правила 1-12 чаще всего используются для приведения структуры теоремы к канонической форме. Вернуться

Дата добавления: 2014-01-04