Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах





По определению:

Пусть граница области интегрирования задана уравнением .Выразив из этого уравнения одну переменную через другую, найдемявные уравнения линий, ограничивающих область интегрирования слева- Xлев(y)исправа Xпр(y) или сверху УВ (х)и снизу УН(х).

Пользуясь произвольностью разбиения и выбора отмеченных точек в ячейках разбиения,

- введем разбиение области интегрирования Dлиниями координатной сетки

y=yj=const ||OX- и x=xi=const ||OY

на прямоугольные «ячейки» площадью и

- внутри каждого, например, вертикального «столбца» xi<x<xi+1 выберем отмеченные точки с одинаковыми абсциссами : x=xi*.

xi+1
xi
- упорядочим суммирование в интегральной сумме

Очевидно, что внутренняя сумма представляет интегральную сумму (1) для интеграла от функции одной переменной , которая при измельчении разбиений
определяет «определенный интеграл» по промежутку [yH(xi); yB yH(xi)]

После этого, внешняя сумма так же представляет интегральную сумму (1) для интеграла от функции одной переменной :

 

Таким образом, вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах сводится к двукратному интегрированию функции f(x,y), при этом

(1) внутреннее интегрирование функции одной переменной выполняется в области D вдольпрямой или . Пределы этого интегрирования – уравнения линий, ограничивающих область D СНИЗУ () и СВЕРХУ (y=или СЛЕВА и СПРАВА

(2) повторное интегрирование (внешний интеграл) функции одной (второй) переменной выполняется по отрезку , где a,bи c,d -наименьшее и наибольшее значения соответствующих переменных на всей области интегрирования D.

-----------------------------------------------------------------------

ЭКЗ Показать, что

-----------------------------------------------------------------------

 

Замечание. Если при выбранном порядке интегрирования границы области вдоль соответствующей «координатной прямой» задаются различными уравнениями (“сложная область”), область интегрирования следует разбить на “простые для выбранного порядка интегрирования» части :



Алгоритмвычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах

(1) Выбрать «порядок интегрирования» и записать двойной интеграл в виде двукратного: .

(2) Представить область интегрирования Dв виде объединения частей Di, простых для выбранного порядка интегрирования, и записать интеграл как сумму двукратных интегралов:

(3) Для каждой «простой» области Di записать в явном виде уравнения границ вдоль соответствующей координатной линии, проставить пределы интегрирования и вычислить двукратный интеграл.
--------------------------------------------------------------------------

ПРИМЕР.

(1)

(2) x=const è y=const è D– «простая» область

(3)вдоль линии x=const ||OY вдоль линии y=const ||OX

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1368; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.