Пример
è «бесперспективно», так как первообразная функции
exp(-x2) не выражается через элементарные функции. В полярных же координатах
=

Рассмотрим две плоскости с введенными на них прямоугольными системами координат XOYи UOV.
Пусть функции
устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками этих плоскостей: 
Обозначим соответствующие области интегрирования : 
Утверждение 1.4Если функции
непрерывно дифференцируемы в SD, то
,
где
- матрица Якоби первых частных производных этих функций.
Например, двойной интеграл (1)в полярных координатах

(2) в «обобщенных» полярных координатах


АЛГОРИТМ замены переменных в двойном интеграле.
1) Записывается матрица Якоби и вычисляется ее определитель det(J).
2) Подынтегральная функция преобразуется к новым переменным f(x,y)=f*(u,v);
3)Область интегрирования D(x,y) отображается в соответствующую область D(u,v)
4) Вычисляется двойной интеграл в новых координатах.

------------------------------------------------------------------------
Пример. Вычислим площадь эллипса
в обобщенных полярных координатах

3) Эллиптическая в системе координат ХОУобласть интегрирования
в ОПК отображается в единичный круг r≤1; φ€[0;2π], поэтому

Экз. Вычислить интеграл