Понятие о замене переменных в двойном интеграле

Пример

è «бесперспективно», так как первообразная функции

exp(-x²) не выражается через элементарные функции. В полярных же координатах

=

 

 

Рассмотрим две плоскости с введенными на них прямоугольными системами координат XOYи UOV.
Пусть функции устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками этих плоскостей:
Обозначим соответствующие области интегрирования :

 

Утверждение 1.4Если функции непрерывно дифференцируемы в S_D, то

,

где - матрица Якоби первых частных производных этих функций.

 

Например, двойной интеграл (1)в полярных координатах

(2) в «обобщенных» полярных координатах

АЛГОРИТМ замены переменных в двойном интеграле.

1) Записывается матрица Якоби и вычисляется ее определитель det(J).

2) Подынтегральная функция преобразуется к новым переменным f(x,y)=f*(u,v);

3)Область интегрирования D(x,y) отображается в соответствующую область D(u,v)

4) Вычисляется двойной интеграл в новых координатах.

------------------------------------------------------------------------

Пример. Вычислим площадь эллипсав обобщенных полярных координатах

3) Эллиптическая в системе координат ХОУобласть интегрирования в ОПК отображается в единичный круг r≤1; φ€[0;2π], поэтому

Экз. Вычислить интеграл