Малые деформации

Аналогично напряжениям деформации изменяются от точки к точке деформируемого тела, поэтому соотношения между де­формациями определяются для малого объема тела. Выделим в теле плоскостями, параллельными координатам, бесконечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, ' dz (рис. 12).

. При деформации параллелепипед перемещается, дли­на его ребер и прямые в исходном состоянии углы между гра­нями изменяются. При этом наблюдается деформация двух видов — линейная (удлинение или укорочение) и угловая (сдвиг).

Величина малых относительных линейных деформаций опре­деляется отношением приращения длины ребра к исходной дли­не и обозначается е с индексом, указывающим наппявление оси, параллельно которой ребро получило удлинение

Рис. 13. Параллелепипед и его проекции до деформации

Рис. 14. Проекция параллелепипеда на плоскость хОу до деформации и в момент деформации

Величина относительной деформации сдвига определяется углом между направлениями ребер в исходном состоянии и по­сле деформации и обозначается с двумя индексами: и т. д. Первый индекс указывает направление оси, парал­лельно которой ребро находилось в исходном состоянии, а вто­рой — ось, по направлению к которой повернулось ребро (см. рис. 12).

Определим составляющие деформации в функции перемеще­ний. Выделим в деформируемом теле бесконечно малый параллелепипед с ребрами (рис. 13). Рассмотрим проекцию этого параллелепипеда на координатную плоскость (рис. 13 и 14). Проекция параллелепипеда до деформации а после деформации . Перемещение точки а в направлении оси х обозначим через и, в направлении оси , через v и в направлении оси через . Смещение точки С в направлении оси х, прене­брегая членами второго и высшего порядка малости, равногде — интенсивность развития функции Ũ в направлении х

— приращение перемещения u на длине dx /

Относительное удлинение ребра ас, равного до деформа­ции dx, можно

выразить так (рис. 14):

Аналогично для относительного удлинения ребра вдоль оси y получаем

При деформации ребра параллелепипеда, параллельные осям координат в исходном состоянии, не будут им параллельны, так как произойдет поворот их в результате деформаций сдвига. Деформация сдвига в плоскости хОу равна сумме углов и β поворота ребер аb и ас:

Угол поворота ребра ас определим из треугольника а₁с₁с₂: tg β = c₁c₂ / а₁с₂

Перемещение точки С в положение C₁ в направлении оси у равно интенсивность развитая функции v в направлении оси х, а произведение — приращение перемещения на длине Отсюда

Так как мало по сравнению с единицей и при малых деформациях можно принятьполучаем

Аналогично определяем угол ά

Итак, деформация сдвига

Проектируя параллелепипед (см. рис. 13) на координатные плоскости и , определяем линейные деформации и деформации сдвига. В результате получаем следующие диф­ференциальные зависимости малых деформаций от переме­щений:

В шести уравнениях (1.56) имеется девять неизвестных. Для решения этих уравнений и нахождения всех неизвестных нужно записать еще 3 уравнения неразрывности связи линейных деформаций и деформаций сдвига.

Дата добавления: 2014-01-04