Свободные затухающие колебания в контуре

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Электромагнитная энергия в контуре постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание проводника, вследствие чего колебания затухают. По второму правилу Кирхгофа для цепи на рисунке 1.5.3 имеем:

Разделим это уравнение на L и подставим ,

Учитывая, что , и обозначив , получаем

- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

При , т.е. при , решение этого уравнения имеет вид

, (1.5.1)

где . Подставив и , получаем Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты .

Для определения напряжения на конденсаторе разделим (1.5.1) на С, имеем

Чтобы найти закон изменения силы тока, продифференцируем (1.5.1) по времени:

Обозначим тогда

Так как то - при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на

График функции представлен на рис.1.5.4.

Логарифмический декремент затухания Он определяется параметрами контура R, L, C и является характеристикой этого контура.

Если затухание невелико , то и

Добротность контура в случае слабого затухания

При слабом затухании добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре в данный момент, к убыли этой энергии за один период. Действительно, амплитуда силы тока в контуре убывает по закону e-βt. Энергия W, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока, следовательно W убывает по закону e-2βt. Относительноеуменьшениезапериодравно:

При незначительном затухании << 1 можно считать . Тогда добротность .

При частота становится комплексным числом, и происходит апериодический процесс разрядки конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим,

Дата добавления: 2014-01-04