Метод минимальных путей и минимальных сечений

Кратчайший путь успешного функционирования (КПУФ) – набор элементов системы, при исправности которых вся система будет работоспособна; не содержит в себе других минимальных путей.

Минимальное сечение отказов (МСО) – набор элементов системы, при неисправности которых вся система будет неработоспособна; не содержит в себе других минимальных сечений.

Система может иметь несколько КПУФ и несколько МСО. Пока работоспособен хотя бы один КПУФ, система сможет продолжать свою работу. С другой стороны, как только откажет хотя бы одно МСО, система окажется неработоспособной. Пусть мы смогли определить следующие события:

, , …, – события работоспособности различных КПУФ в момент времени t – всего r-штук.

, , …, – события неработоспособности всех элементов, входящих в различные МСО в момент времени t – всего s-штук.

Тогда:

Согласно формулам сложения вероятности получим вероятности работоспособного и отказового состояний системы:

(1)

(2)

Каждая из вероятностей, входящих в правые части выражения для P и Q часто может быть легко вычислена. Например, для следующей схемы минимальные пути – (1;3) и (2;4), а минимальные сечения – (1,2), (1,4), (2,3), (3,4)

Для большей ясности выражений в , , и опустим явное упоминание аргумента времени:

Если предположить, что надежности всех элементов одинаковые, получим:

Выражения (1) и (2), если применить их непосредственно, могут дать точные значения вероятностей. Но при наличии большого количества КПУФ и МСО, расчеты могут стать чрезвычайно трудоёмкими. Однако, на базе этих формул можно получить приблизительные оценки. Если мы пренебрежем зависимостями между отказами различных КПУФ, то формулу (1) можно заменить верхней оценкой:

Аналогично, если мы пренебрежем зависимостями между возникновением различных МСО, то формулу (2) также можно заменить верхней оценкой:

Поскольку , то: . Теперь можно получить формулу для интервальной оценки вероятности безотказной работы системы:

(3)

Для нашего примера:

Если все элементы равнонадежны:

На следующем графике показаны верхняя и нижняя оценки вероятности безотказной работы в зависимости от верояности безотказной работы элементов p:

Дата добавления: 2014-01-03