Точки, связанные с последовательностью xn

Поведение функций

Действия с функциями

Соотношения и функции

Соотношение задается между двумя множествами X и Y. Формально соотношение r – это подмножество декартова произведения X ´ Y. Т.е. некоторые пары элементов (x, y), x Î X, y Î Y находятся в этом соотношении, а другие – нет. Примеры – соотношения <, Ì, Î, sin, «мама», «сын», «столица».

Соотношение, в котором каждому аргументу x соответствует один (не более одного) элемента y, называется отображением. Из названных выше это sin, «мама», «столица». Отображение f обозначают так: f: X ® Y, или y = f(x).

Множество X называется областью определения отображения.

Функционал – отображение в числовое множество, т.е. в этом случае YÌ R.

Если X и Y – числовые множества, то отображение называется функцией.

Если X совпадает с N, то отображение называется последовательностью. Для него вместо a(n) используется обозначение an.

Множество значений любой последовательности называется счетным. Пример – множества N, Z, Q. Множество R и его промежутки не являются счетными (имеют мощность континуум).

Функции можно складывать, вычитать, умножать и делить. Результирующая функция определена на множестве, на котором имеют смысл оба операнда (и где знаменатель не равен 0). Для функций определена композиция (суперпозиция, сложная функция). А именно, значение функции fog вычисляется как fog(x) = f(g(x)) в тех точках, где соответствующие вычисления осмысленны.

Обратное соотношение состоит из пар (y, x), где пара (x, y) находится в прямом соотношении. Например, обратным соотношением к функции sin будут все решения уравнения x = sin y. Такое соотношение обозначается Arcsin. Если обратное соотношение также является однозначным, то отображение называется обратимым. Например, отображение y = x2, x ³ 0 обратимо. Обратной к нему будет функция y =. Напротив, отображение y = x2, x Î R необратимо.

Функция называется (строго) возрастающей на множестве A, если для любых x1, x2 Î A, x1 < x2 выполняется f(x1) < f(x2).

Функция называется (строго) возрастающей на множестве A, если для любых x1, x2 Î A, x1 < x2 выполняется f(x1) > f(x2).

Точка x0 называется точкой локального максимума, если в некоторой проколотой окрестности x0 выполняется f(x) < f(x0).

Точка x0 называется точкой локального минимума, если в некоторой проколотой окрестности x0 выполняется f(x) > f(x0).

Предел a Î R*: в любой его окрестности U(a) находятся все xn, начиная с некоторого. Обозначение: a = или просто a = lim an.

Формальное определение:

1) a конечно. " e > 0 $ N = N(e) такое, что " n ³ N(e) Þ |xn – a| < e.

2) a = ¥. " e > 0 $ N = N(e) такое, что " n ³ N(e) Þ |xn| > e.

Определение через окрестности (для любого a):

" e > 0 $ N = N(e) такое, что " n ³ N(e) Þ xn Î Ue(a).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, не имеющая – расходящейся.

Частичный предел a Î R*:

а) в любой окрестности U(a) лежит бесконечное число значений xn;

б) a является пределом некоторой подпоследовательности xnk. Здесь nk – возрастающая последовательность номеров.

Еще одна формулировка свойства полноты прямой:

Теорема. Всякая ограниченная последовательность имеет частичный предел (соответственно, сходящуюся подпоследовательность).

Можно показать, что множество частичных пределов замкнуто. В частности, оно достигает своих супремума и инфимума, которые становятся, таким образом, минимумом и максимумом.

Минимальный из частичных пределов называется нижним пределом последовательности, а максимальный – верхним.

Дата добавления: 2014-01-04