Локальные свойства непрерывных функций

Непрерывная функция

Теоремы о существовании предела последовательности

1 идея. Сходимость монотонной ограниченной последовательности.

2 идея. Если элементы последовательности приближаются друг к другу, то они приближаются и к некоторому пределу (критерий Коши).

Строгие формулировки.

Теорема 1. Пусть последовательность xn возрастает и ограничена сверху. Тогда она имеет предел.

Замечание. Пределом будет супремум множества значений последовательности.

Следствие. Последовательность (1 + 1/n)n имеет предел. Его обозначают буквой e.

Последовательность xn называется фундаментальной, если " e > 0 $ N = N(e) такое, что " n ³ N(e), m ³ N(e) Þ |xn – xm| < e.

Теорема 2 (Критерий Коши). Фундаментальная последовательность сходится и, наоборот, сходящаяся последовательность фундаментальна.

Замечание. Пределом будет частичный предел последовательности.

Теорема о двух милиционерах. Пусть для всех n, начиная с некоторого, an £ bn £ cn и lim an = lim cn = a. Тогда существует и предел bn, причем он равен a.

Интуитивное определение 1. Функция f называется непрерывной в точке a, если при небольшом изменении Dx = x – a аргумента x, изменение Df(x) = f(x) – f(a) функции f также мало.

Интуитивное определение 2. Функция f называется непрерывной в точке a, если для аргументов, близких к a, значение функции близко к f(a).

Формальные определения:

Определение 1. Функция f называется непрерывной в точке a, если

"e > 0 $d > 0 такое, что "x, |x – a| < d Þ | f(x) – f(a)| < e.

Определение 2. Функция f называется непрерывной в точке a, если

"e > 0 $d > 0 такое, что "x, x Î Ud(a) Þ f(x) Î Ue(f(a)).

Эти определения подходят для случая, когда a есть внутренняя точка области определения D функции f. В более общем случае они принимают вид

Определение 1¢. Функция f называется непрерывной в точке a, если

"e > 0 $d > 0 такое, что "x Î D, |x – a| < d Þ | f(x) – f(a)| < e.

Определение 2¢. Функция f называется непрерывной в точке a, если

"e > 0 $d > 0 такое, что "x, x Î Ud(a) I D Þ f(x) Î Ue(f(a)).

Мы будем рассматривать непрерывность только в точках, являющихся предельными точками для D.

Функция называется непрерывной слева/справа, если определение выполняется для x меньших/больших a. Если функция непрерывна и слева и справа, то она непрерывна.

Пусть функция непрерывна в точке a. Тогда она ограничена в некоторой окрестности точки a.

Пусть функция непрерывна в точке a и f(a) > 0. Тогда в некоторой окрестности точки a функция отделена от нуля, т.е. существует a такое, что f(x) ³ a > 0 для x Î Ud(a).

Дата добавления: 2014-01-04