Существование предела

Свойства предела

Предел функции

Глобальные свойства непрерывных функций

Арифметические свойства непрерывных функций

Пусть функции f и g непрерывны в точке a. Тогда в этой же точке непрерывны функции f + g, f – g, f×g, а при g(a) ¹ 0 и функция f/g.

Если функция g непрерывна в точке a, а функция f – в точке b = g(a), то композиция fog непрерывна в точке a.

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества (в смысле определений 1¢– 2¢).

В смысле определений 1–2: функция называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в его внутренних точках, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

Пусть функция непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда она

1. Ограничена на этом отрезке.

2. Достигает свои точные грани, т.е. sup f(x) = f(c1), c1 Î [a; b], inf f(x) = f(c2), c2 Î [a; b].

3. Принимает все значения между inf f(x) и sup f(x).

Теорема об обратной функции. Пусть функция f, заданная на отрезке [a; b], строго монотонна и непрерывна, причем f(a) = c, f(b) = d. Тогда у функции f существует обратная функция на отрезке [c; d] (или [d; c]), которая также непрерывна и строго монотонна.

Функция f называется равномерно непрерывной на множестве A, если

"e > 0 $d > 0 такое, что "x, y Î A, |x – y| < d Þ | f(x) – f(y)| < e.

Теорема Кантора. Функция, непрерывная на отрезке и равномерно непрерывна на нем.

Определение 1¢. Говорят, что число b является пределом функции f в точке a, если

"e > 0 $d > 0 такое, что "x Î D, 0 < |x – a| < d Þ | f(x) – b| < e.

Определение 2¢. Говорят, что число b является пределом функции f в точке a, если

"e > 0 $d > 0 такое, что "x, x Î Ǔ d(a) I D Þ f(x) Î Ue(f(a)).

Мы будем рассматривать предел только в точках, являющихся предельными для D.

Второе определение подходит и для бесконечных a, b.

Арифметические свойства. Пусть f(x) ® b, g(x) ® c при x ® a. Тогда lima f (x) à g(x) = b à c, если только правая часть имеет смысл. Здесь через à обозначена произвольная арифметическая операция. Значения a, b и c могут быть как конечными, так и бесконечными.

Предел композиции: Если g(x) ® c при x ® a, а функция f(x) непрерывна в точке c, то f(g(x)) ® f(c).

Связь с неравенствами: если f(x) < g(x) в некоторой окрестности точки a, то lima f (x) £ lima g(x).

Теорема о двух милиционерах (аналогична теореме для последовательностей).

Следствие 1 (первый замечательный предел). Имеем lim0 = 1.

Следствие 2 (второй замечательный предел). lim0 = e.

Два основных принципа (как для последовательностей).

Теорема 1. Пусть функция f(x) возрастает в левой окрестности точки a и ограничена сверху. Тогда она имеет предел слева в этой точке.

Аналогично формулируется теорема о пределе справа. Если функция имеет предел и слева и справа и они совпадают, то функция имеет и двусторонний предел в этой точке.

Теорема 2 (Критерий Коши). Пусть " e > 0 $ d > 0 такое, что " x, y Î Ud(a) Þ |f(x) – f(y)| < e. Тогда функция f имеет предел в точке a.

Дата добавления: 2014-01-04