Многочлен Тейлора

Асимптотическое сравнение функций

Элементарные функции

Асимптоты

Типы разрывов функции

Применение пределов к исследованию функций

Устранимый разрыв: функция имеет предел в точке a, не совпадающий с ее значением в этой точке. Устраняется заменой одного значения функции.

Разрыв первого рода (скачок): функция имеет конечные пределы слева и справа, но они не совпадают между собой.

Разрыв второго рода: все остальные случаи (один из односторонних пределов не существует или бесконечен).

Прямая называется асимптотой функции y = f(x) если графики прямой и функции бесконечно приближаются друг к друга при x или y стремящемся к ¥.

Вертикальная прямая x = a является асимптотой, если функция f(x) ® ¥ при x, стремящемся к a слева или справа.

Наклонная прямая y = kx + b является асимптотой, если разность f(x) – (kx + b) стремится к 0, т.е. f(x) = kx + b + о(1). При этом k =, b =. Вместо ¥ можно взять +¥ или –¥.

При k = 0 асимптота называется горизонтальной.

Простейшие элементарные функции xa, ax задаются сначала на множестве рациональных чисел, а потом продолжаются на вещественные значения «по непрерывности», т.е. так, чтобы полученная функция оказалась непрерывной. При этом используется свойство равномерной непрерывности функции, заданной на Q.

Функции sin, cos строятся исходя из их свойств.

Обратные функции loga, arcsin, arccos строятся по теореме об обратной функции.

1. Функция f ограничена по сравнению с g на множестве A, если

|f(x)| £ C|g(x)| для всех x Î A и некоторой константы C.

Обозначение: f(x) = O(g(x)), x Î A. Читается: f есть О большое от g на A.

2. Функция f бесконечно мала по сравнению с g при x ® a, если

f(x) = a(x)·g(x), где a(x) ® 0 при x ® a.

Обозначение: f(x) = о(g(x)), x ® a. Читается: f есть о малое от g при x ® a.

3. Функция f эквивалентна g при x ® a, если

f(x) = a(x)·g(x), где a(x) ® 1 при x ® a.

Обозначение: f(x) ~ g(x), x ® a.

4. А симптотическое равенство. Если f(x) ~ g(x), x ® a, то

f(x) = g(x) + r(x), где r(x) = о (g(x)), x ® a.

Здесь g есть главная часть f, а r – остаток.

5. Пусть f(x) = g1(x) + r1(x) и f(x) = g2(x) + r2(x) – асимптотические равенства при x ® a.

Второе равенство будет точнее первого, если r2(x) = o(r1(x)) при x ® a.

Таблица эквивалентностей

Пусть P(x) = anxn + … + amxm, где n ³ m,

P(x) ~ anxn при x ® ¥;

P(x) ~ amxm при x ® 0;

xa – 1 ~ a(x – 1) при x ® 1, a Î R; (1 + x)a – 1 ~ ax при x ® 0, a Î R;

sin x ~ x при x ® 0;

1 – cos x ~ при x ® 0;

tg x ~ x при x ® 0;

arcsin x ~ x при x ® 0;

arctg x ~ x при x ® 0;

ex – 1 ~ x при x ® 0; ax – 1 ~ x ln a при x ® 0, a Î R+;

ln x ~ x – 1 при x ® 1; ln (1 + x) ~ x при x ® 0;

Многочлен Тейлора Tfn,a функции f в точке a – это многочлен степени не выше n такой, что f(x) = Tfn,a + o((x–a)n) при x ® a.

В каждой точке у функции может быть не более одного многочлена Тейлора.

Многочлен Тейлора можно разложить по степеням (x–a), т.е.

Tfn,a = c0 + c1(x–a) + c2(x–a)2 + … + cn(x–a)n.

Отбрасывая в этой записи последние слагаемые, получим многочлены Тейлора меньшей степени.

Дата добавления: 2014-01-04