Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Исследование на выпуклость

Читайте также:
  1. Второй этап: исследование
  2. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
  3. Выпуклость функции
  4. Выпуклость функции многих переменных
  5. Выпуклость функции. Точки перегиба.
  6. Задачи расследования, решаемые исследованием материальных следов преступления
  7. ИССЛЕДОВАНИЕ
  8. Исследование боеприпасов, пуль, дроби, картечи, пыжей, гильз
  9. Исследование зарубежного рынка
  10. Исследование и анализ внешней среды
  11. Исследование и анализ внешней среды и рынков.
  12. Исследование и анализ рынка (анализ бизнес-среды организации)

Исследование на экстремум.

Остаточные члены формулы Тейлора

Свойства функции, дифференцируемой на множестве

Свойства функции, дифференцируемой в точке

Список определений дифференцируемой функции

Функция называется дифференцируемой в точке a, если …

1. … она непрерывна в a и у нее существует многочлен Тейлора первой степени в точке a, т.е. f(x) = c0 + c1(x–a) + o(x–a) при x ® a.

2. … у нее существует дифференциал в точке a, т.е. Df(x) = df + o(Dx) при Dx ® 0. Здесь Dx = x – a, Df(x) = f(x) – f(a), df = cDx.

3. … у нее существует производная в точке a, которая задается как f¢(a) =

При этом с0 = f(a), c1 = f¢(a) и df = f¢(a) dx, где dx = Dx.

4. … ее график имеет касательную в точке a. Касательная – это предельное положение секущей, проходящей через точки (a, f(a)) и (x, f(x)), при x ® a. Уравнение касательной совпадает с многочленом Тейлора c0 + c1(x–a) = f(a) + f¢ (a)·(x–a).

Теорема Ферма.

Пусть функция f имеет в точке a локальный экстремум и дифференцируема в ней. Тогда f¢(a) = 0.

Теорема Ролля.

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b), то в некоторой точке c Î (a, b) имеем f¢(c) = 0.

 

Формула конечных приращений Лагранжа.

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то f(b) – f(a) = f¢(c)·(b – a), где c – некоторая точка из (a, b).

 

Формула конечных приращений Коши.

Если функции f и g непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), f¢(x) и g¢(x) не обращаются в 0 одновременно и g(b) ¹ g(a), то

= , где c – некоторая точка из (a, b).

Если функция n раз дифференцируема в точке a, то ck = , в частности, c0 = f(a). В этом случае формула Тейлора приобретает вид

f(x) = f(a) + f¢(a)·(x–a) + (x–a)2 + … + (x–a)n + Rn+1(x).

Остаток Rn+1(x) формулы Тейлора можно записать в форме …

1. … Пеано. Rn+1(x) = o((x–a)n) при x ® a.

2. … Лагранжа. Rn+1(x) = (x–a)n+1, где c – точка между a и x.

Дополнительное требование: функция имеет производную (n+1)-го порядка в интервале (a; x) или (x; a), а все производные меньших порядков непрерывны на отрезке [a; x] или [x; a].

3. … Коши. Rn+1(x) = (x–a)(x–с)n, где c – точка между a и x.

Дополнительное требование: функция имеет производную (n+1)-го порядка в интервале (a; x) или (x; a), а все производные меньших порядков непрерывны на отрезке [a; x] или [x; a].

Приложения к исследованию функций

Пусть функция дифференцируема на интервале (a; b), тогда

Производная   Функция   Производная
f '(x) = 0 Þ f(x) = const Þ f '(x) = 0
f '(x) > 0 Þ f(x) возрастает Þ f '(x) ³ 0
f '(x) < 0 Þ f(x) убывает Þ f '(x) £ 0

Точка, в которой производная равна 0 или не существует, называется критической или подозрительной на экстремум.



Достаточное условие экстремума: Пусть x0 – критическая точка. Если f ‘’(x0) > 0, то в этой точке – минимум, а если f ‘’(x0) < 0, то в этой точке – максимум,

Если f ‘’(x) > 0 на интервале (a; b), то функция выпукла вниз (лежит выше своей касательной).

Если f ‘’(x) < 0 на интервале (a; b), то функция выпукла вверх (лежит ниже своей касательной).

В точке перегиба (в которой функция меняет направление выпуклости) имеем f ‘’(x) = 0.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Исследование на выпуклость

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 218; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.158.21.176
Генерация страницы за: 0.006 сек.