Доказательство того, что точки находятся по одну или по разные стороны от плоскости

Дано: точки , и плоскость имеет место.

Теорема 44. Точки и лежат по разные стороны от плоскости тогда и только тогда, когда (44.11)

Доказательство

Построим параметрическое уравнение отрезка :

Рис 44.4

(44.21)

Значению t=0 соответствует точка , а t=1 – точка , (см. параграф 40, п.40.3; если параметр t<0 или t>1, то мы находимся на продолжении отрезка (т.е. на прямой , но за пределами отрезка )).

Очевидно, что (см. рис. 44.4) точки и находятся по разные стороны от плоскости , тогда и только тогда, когда отрезок пересекает эту плоскость .

Положим , где x, y, z выражены через t формулой (44.1). - линейная (и поэтому монотонная и непрерывная) по t функция; при этом и

. Но из условия (44.11) следует, что (0)0, и тогда в интервале (0;1) непрерывная на нём функция имеет корень, т.е. отрезок пересекает плоскость , и достаточность теоремы 44 доказана.

Если же условие (44.11)не выполнено, то (0), и поэтому (так как монотонная функция) для любого будет , т.е. для всех функция тот же знак, что и , и (условие 44.11 не выполнено)

Поэтому ни при каком функция не обращается в ноль, т.е. отрезок плоскость не пересекает.

Теорема 44 полностью доказана.

Дата добавления: 2014-01-04