Доказательство формулы (39.1)

 

Пусть- прямая, проходящая через точку и перпендикулярная плоскости

: Ax+By+Cz+D=0 (36.4)

Обозначим за (( т.е. - проекция точки на плоскость ). Тогда (см. рис 44.3) )=) (44.5)

Найдём параметрическое уравнение прямой .

Направляющим вектором прямой является вектор -нормаль к плоскости (см. рис 44.3), а - одна из её точек. Тогда согласно параграфу 40, каноническое уравнение прямой имеет вид: , а её параметрическое уравнение

(44.6)

Подставив вместе x, y, z в равенство (36.4) их выражение через t из формулы (44.6), получим уравнение (44.7)

Решая уравнение (44.7) получим: (44.8)

Подставив из (44.8) в равенство (44.6) получим координаты проекции : (44.9)

Или

Сделав несложные преобразования получим

(44.10)

 

 

Найдём теперь расстояние от точки до плоскости :

(44.5)

)=)(44.11)

Подставив далее вместе их значения из формулы (44.9), из (44.11) получим

)= (44.12)

А подставляя в равенство (44.12) вместо её значение по формуле (44.8), получим равенство )=

Формула (39.1) доказана

Мы показали, что координаты проекции точки на плоскость , заданной уравнением (36.3), можно найти по формуле (44.10)