Дискретная модель

Отображения в пространстве.

Трехмерное вращение.

Сдвиг.

Основы преобразований.

Трехмерное изменение масштаба.

Данное преобразование производит частное изменение масштаба. Общее изменение масштаба получается за счет использования четвертого диагонального элемента.

где

Не диагональные элементы левой верхней подматрицы 3*3 в общем матричном преобразование размером 4*4 осуществляется сдвиг в трех измерениях, то есть:

В предыдущем случае было показано, что матрица 3*3 обеспечивает комбинацию операций измерения масштаба и сдвига. Однако, если определенная матрица 3*3 = 1, то имеет место чистое вращение около начала координат.

Рассмотрим несколько частных случаев вращения.

При вращение вокруг оси х размеры вдоль оси х не изменяются, таким образом матрица преобразований будет иметь нули в первой строке и столбце, за исключением единицы на главной диагонали. И будет иметь вид:

Угол Ө - угол вращения вокруг оси х;

Вращение предполагается положительным по часовой стрелке, если смотреть с начала координат вдоль оси вращения.

Для вращения на угол φ около оси Y нули ставят во второй стороне и столбце матрицы преобразования за исключением единицы на главной диагонали.

Матрица имеет вид:

Аналогично матрица преобразований для вращения на угол ψ вокруг оси Z:

Так как вращение описывается умножением матрицы, то трехмерное вращение не коммутативное, то есть порядок умножения будет влиять на конечный результат.

Иногда требуется выполнить зеркальное отображение трехмерного изображения.

Рассмотрим частный случай отображения. Матрица преобразования относительно плоскости XYимеет вид:

И отображение YZ или отображение XZприотображение относительно других плоскостей можно получить путем комбинации вращения и отображения.

Для отображения yz:

Для отображения xz:

Тв.модели

При каркасном моделировании хотя оно и является объемным, мы не учитываем, что является телом, а что внутренностью.

Поэтому появляется термин – твердотельная модель.

Термин твердотельная модель говорит о том, что помимо свойств описания геометрии (очерков, каркасов) существуют признаки или свойства, разделяющие пространства на свободное и на сам геометрический объект.

В связи с тем, что описание свойства твердотельности математической модели может быть многообразными. Приведем только некоторые способы описания твердотельных моделей.

Принцип построения дискретной модели заключается в том, что объект делится на элементарнее подпространства. Данному элементарному подпространству присваивается индекс, определяющий принадлежность или непринадлежность к телу.

Преимущества:

1. Разработан математический аппарат на основе булевой алгебры и математической логики.

2. Простота задания геометрического объекта.

Недостатки:

1. Геометрический объект задается дискретно, возникает вопрос математической модели о точности задания геометрического объекта по гладкости, по возможности построения нормали к геометрическому объекту.

2. Для данной модели существуют проблемы в уравнении и масштабировании геометрического объекта.

Эффект масштабирования - нельзя ни растянуть ни сжать, делаем от и до.

Дата добавления: 2014-01-04