П.2 Сходимость ряда Фурье в точке

П.1 Частичные суммы рядов Фурье. Формула Дирихле.

Сходимость тригонометрических рядов Фурье

П.3 Лемма Римана

П.2 Ряды Фурье по ортогональным системам функций

Пусть ортогональная система на [a,b],

числовая последовательность,.

Рассмотрим, пусть он сходится равномерно на [a, b] Лемма. Пусть равномерно на [a, b], тогда: (*)

□ =

=, (т.к. непрерывны на [a, b])

сходится равномерно,:,. Тогда и сходится равномерно. Значит, его можно проинтегрировать:

,

интеграл в правой части равен нулю, при и ■

Пусть произвольная функция. Если (*), то рассмотрим - ряд Фурье для функции по ортогональной системе функций. Числа, найденные по (*) называются коэффициентами Фурье.

Если абсолютно интегрируема на [a, b], то найдется ряд Фурье для, но он может сходиться не к или вообще расходиться.

Пример:

- ортогональна на,

Обозначим

Тогда для коэффициентов Фурье справедливы формулы Фурье-Эйлера:

Пусть f(x) абсолютно интегрируема на [a, b] (конечный или бесконечный промежуток). Тогда:

Доказательство:

1. Пусть f(x) абсолютно интегрируема в собственном смысле, то есть

- интеграл Римана.

- разбиение [a, b]:,

где,,,.

Рассмотрим

Последнее неравенство верно, т.к.

.

2. и - несобственные

Пусть b - особая точка. Тогда.

Аналогично доказывается, что.

Пусть - абсолютно интегрируемая на

- тригонометрический многочлен; «2»-периодическая функция.

- «2»-периодическая функция

Лемма.

- ядро Дирихле.

Доказательство:

Свойства ядра Дирихле:

1) Бесконечно дифференцируемая функция;

2) Четная;

3) -периодическая;

4).

Пусть – -периодическая. Получим формулу для частной суммы ряда Фурье:

соберём всё в один интеграл

Выполняя замену, получаем формулу

Выполняя замену в первом интеграле, получаем

.

- Формулы Дирихле

Теорема 1. (Принцип локализации)

Пусть – абсолютно интегрируема на - -периодическая.

Тогда

.

Пусть.

. Так как и, следовательно,

- абсолютно интегрируема, следовательно,

– абсолютно интегрируема на и по лемме Римана ∎

Следствие из принципа локализации:

Для т.е..

Определение. Будем говорить, что функция удовлетворяет в точке условию Гёльдера, если:

и

- показатель Гёльдера.

Определим односторонние производные так:

Тогда если, то,,

т.е. функция, имеющая односторонние производные в данной точке удовлетворяет условию Гёльдера с.

Примеры:

1),,

- удовлетворяет условию Гёльдера.

2)

невозможно, так как:. Значит, данная функция не удовлетворяет условию Гёльдера в точке.

Теорема 2. (О поточечной сходимости ряда Фурье или Теорема Дирихле)

Пусть - абсолютно интегрируема на, - периодична и в точке удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда ряд Фурье для в точке сходится к, т.е..

Если непрерывна в точке.

умножая на и складывая с предыдущим равенством получаем:

Рассмотрим интеграл, стоящий в скобках, и подставим выражение для ядра Дирихле:

Обозначим =

;

- абсолютно интегрируема на.

Тогда по лемме Римана ■

Дата добавления: 2014-01-04