П.3 Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов

Признак Абеля

П. 2. Признаки равномерной сходимости

П.1 Равномерная сходимость

Несобственные интегралы с параметрами

Следствие.

Собственные интегралы с параметрами

П.2 Равномерная сходимость ряда Фурье

1.

П.1 Неравенство Бесселя

Равномерная сходимость ряда Фурье. Сходимость в среднем

Теорема. Пусть, - ортогональна на [a, b]. Пусть - коэффициенты Фурье. Тогда

□ =

последнее слагаемое состоит из квадратов и удвоенных попарных произведений, которые равны нулю за счет ортогональности системы

= =

Вспомним формулу:

,

следовательно, частные суммы ограничены:

- сходится. ■

Следствия:

2. и - сходятся

3. и - сходятся

□, следовательно - ряд сходится. ■

Теорема (о равномерной сходимости ряда Фурье)

Пусть - 2 -периодическая, непрерывная и кусочно-гладкая на.

Тогда ее тригонометрический ряд Фурье сходится к равномерно на.

□

Рассмотрим

Аналогично

и сходятся (по следствию из неравенства Бесселя) и сходятся.

Рассмотрим

ряд Фурье сходится равномерно к. ■

Глава №2. Интегралы, зависящие от параметра

О сходимости и равномерной сходимости семейства функций мы говорили на практике.

Пусть. Пусть определена на, и для интегрируема по Риману на, то есть.

Пусть - собственный интеграл с параметром.

Пусть и - непрерывна на. Тогда

1) непрерывна на;

2) если равномерно по при, то;

3).

Теорема 1. Пустьи непрерывны в. Тогда функция - непрерывно дифференцируема на и.

Следовательно,

∎

Пусть. Тогда

∎

Все рассматриваемые здесь несобственные интегралы имеют одну особую точку.

Пусть,. Пусть и, т.е. точка - особая точка несобственного интеграла. Запишем определение сходящегося интеграла:

- сходится при

Определение равномерно сходящегося интеграла:

сходится равномерно (по) на

Теорема 1. (Критерий Коши)

сходится равномерно на

Необходимость.

Пусть сходится равномерно на и Тогда

Достаточность.

Пусть

сходится при если тогда ∎

Теорема 2. (Признак Вейерштрасса)

Пусть. Пусть определена на такая, что и сходится. Тогда сходится равномерно на.

Так как - сходится

- сходится равномерно ∎

Теорема 3. (Признак Дирихле)

Пусть:

1) непрерывны по на;

2) - первообразная по и для (первообразные равномерно ограничены);

3);

4) равномерно на при.

Тогда сходится равномерно на.

Так как равномерно

Так как

то

∎

сходится равномерно на, если:

1) непрерывны на;

2) сходится равномерно на;

3) монотонна по для;

4) для,.

Теорема 4 (о предельном переходе). Пусть определена на, сходится равномерно на к при и сходится равномерно на.

Тогда.

□ сходится равномерно:

сходится.

Рассмотрим

Второе и третье слагаемое.

равномерно сходится к при. Тогда ∎

Теорема 5 (о непрерывности). Пусть непрерывна на и сходится равномерно на. Тогда непрерывна на.

□:

Пусть. Рассмотрим

Второе и третье слагаемые.

- непрерывная функция (как собственный интеграл). Значит: ∎

Теорема 6 (об изменении порядка интегрирования). Пусть непрерывна на и сходится равномерно на. Тогда.

□:. Тогда.

Пусть. Тогда, а

∎

Пример. Интеграл Дирихле. (Доказательство)

Теорема 7 (о дифференцировании по параметру). Пусть - непрерывна на, - сходится равномерно на, сходится. Тогда - сходится на, непрерывно дифференцируема и.

□ Пусть. Рассмотрим

■

Пример (интегралы Лапласа):

,,.

Пусть.

- сходится равномерно на.

,, монотонно,

сходится равномерно на.

Имеем.

Так как, то и при. Найдем:

- непрерывна на R,

Окончательно,.

Теорема 8 (изменение порядка интегрирования в случае, когда оба интеграла несобственные). Пусть - непрерывна на (точки b и d особые) и выполнены условия

сходится равномерно на;

сходится равномерно на;

3) Один из интегралов или сходится.

Тогда оба повторных интеграла от сходятся и

□Обозначим

1. и. Пусть. Тогда

,:.

Аналогично для

Для случая доказательство аналогично.

2. Пусть теперь меняет знак. Рассмотрим неотрицательные функции

Для и теорема верна. Следовательно ■

Пример 1. Интеграл Пуассона

Пример 2. Интегралы Френеля

Выполняя замену: получаем:

- Интегралы сходятся равномерно по

Интеграл Пуассона: выполняя замену: получаем:

Дата добавления: 2014-01-04