Закон Ньютона

Свойства

П. 2. Пространство

П. 1. Пространство.

Пространства суммируемых функций.

Произведение мер. Теорема Фубини.

П. 6. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана

Пусть - классическая мера Лебега.

Теорема 10. Если, то - интегрируема по Лебегу на и

Разбиение на частей точками

Суммы Римана-Дарбу:

Пусть:

По Теореме Леви: и

почти всюду.

∎

Утверждения:

1) Если и несобственный интеграл, то

2) Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то

3) Если несобственный интеграл сходится условно, то интеграл Лебега не существует.

Пример: - сходится условно, т.к. расходится

Пусть - полукольца.

- полукольцо.

- мера на, - аддитивная.

- мера на, - аддитивная.

Тогда - мера, - аддитивная.

- измеримо.

Теорема Фубини. Пусть, интегрируема по мере на, тогда

(без доказательства).

Пусть на задана мера - полная.

Разобьем множество функций на на классы эквивалентности на.

пространство суммируемых на функций, то есть

- линейное пространство.

Теорема. Пространство - полное.

Пусть - фундаментальная последовательность

Выберем сходится. по следствию из теоремы Леви - сходится почти всюду. сходится почти всюду.

Докажем, что

- фундаментальна

по теореме Фату, то есть ∎

Опр. Множество называется плотным в множестве, если любая окрестность любой точки из множества содержит точку из множества.

Например, плотно в.

в всюду плотно множество интегрируемых функций с конечным числом значений.

в всюду плотно множество интегрируемых непрерывных функций.

Опр. Мера называется мерой со счетным базисом, если счетная система измеримых множеств, такая что для измеримого

Пример: на отрезке счетным базис ­– множество промежутков с рациональным и концами (и их объединениями).

Опр. Пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество.

Если мера - мера со счетным базисом, то - сепарабельно.

Счетное всюду плотное множество:

- индикатор множества или характеристическая функция множества.

Счетное всюду плотное множество для

множество многочленов с рациональными коэффициентами

тригонометрическая система функций

- множество функций с интегрируемым квадратом, то есть

∎

- интегрируема ∎

- линейное пространство.

Неравенство Коши — Буняковского.

Неравенство Минковского.

- полное без доказательства. ∎

- сепарабельно. (для со счетным базисом).

Для счетное всюду плотное множество – ортогональная тригонометрическая система.

Для многочлены Эрмита.

в интеграле

F=mā

ā=F/m

F – равнодействующая сила, равна ∑всех сил.

Свободные

Вынужденные

незатухающие

затухающие

Силы, действующие в системе, где совершаются колебания

F упр.

F упр., F тр.

F упр., F тр., F вн.

Второй закон Ньютона

mв=F упр

mв=F упр+F тр

mв=F упр+F тр + F вн

Вывод дифференциального уравнения колебания

ma=-kx ma+kx=0 ⃒:m a+kx/m=0

ma=-kx-rV ma+kx+rV= 0⃒:m a+

ma=-kx-rV+ F max * sinщ_внеш.t ma+kx+rV= F max * sinщ_внеш.t ⃒:m a+

Дифференциальные уравнения колебаний

x”+ щ₀²x=0

x” + 2вx` + щ₀²x=0

x” + 2вx` + щ₀²x= F max * sinщ_внеш.t

Решение дифференциальных уравнений. Зависимость x(t)

x= Asin(щ₀t + ₀)

x= A₀ sin(щ₀₃t + ₀)

x=A_внеш*sin(W_внеш*t+ц₀)

Частота, с которой совершается колебания

щ₀ – собственная циклическая частота щ₀ =

щ_затух. – частота затухающих колебаний щ_затух. =

щ_внеш. – частота внешней периодической силы  

Зависимость амплитуды от времени

A = const   A, м    

t, c

в2›в1   A, м   A, c     2 1   0 t, c A = A₀

А_внеш=const

Пояснения к таблице:

F_тр= -rV

r – коэффициент трения

[r]=кг/с

V – скорость движения тела

[V]=м/с

Знак «-» показывает, что сила трения направлена против V движения тела.

F_внеш – внешняя периодичекая сила

F_внеш=F_max*sinW_внеш*t

F_max – max значение силы, амплитуда.

W_внеш – частота внешней периодической силы

X – смещение тела от положения равновесия

V=X` – первая производная смещения тела по времени

ā – ускорение тела; [ā]=м/с²

ā=X` – вторая производная смещения тела по времени

k/m=W₀²; W₀ – собственная циклическая частота; [W₀]=рад/с

m*r/m=2β, β – коэффициент затухания; [β]=с^-1

F_max/m=ξ_max

Дата добавления: 2014-01-04