Математические задачи энергетики и компьютерное моделирование

И СВЯЗИ

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

Методические указания к выполнению лабораторных работ

для студентов электроэнергетических специальностей

Алматы 2004

АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебно-методической работе

______________________

“___”_________________2004 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭНЕРГЕТИКИ И

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Методические указания к выполнению лабораторных работ

для студентов электроэнергетических специальностей

СОГЛАСОВАНО Рассмотрено и одобрено на

Начальник УМО заседании кафедры ЭПП

________________ Протокол № _ 5 __

“___”___________2004г. от “_ 09 _”_ января __ 2004г.

Зав. кафедрой ЭПП,

д.т.н., профессор

_____________А.В. Болотов

Редактор Составители:

Старший преподаватель

________________ кафедры ЭПП

__________Н.А. Туканова

“___”___________2004г. Инженер кафедры ЭПП

___________М.М. Махмат

Алматы 2004

СОСТАВИТЕЛИ: Н.А. Туканова, М.М. Махмат. Математические задачи энергетики и компьютерное моделирование. Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов электроэнергетических специальностей - Алматы, АИЭС, 2004. - 34 с.

Методические указания по курсу «Математические задачи энергетики и компьютерное моделирование», включают задания на выполнение лабораторных работ, исходные данные, указания и перечень рекомендуемой литературы.

Методические указания предназначены для студентов очного и заочного обучения.

Ил. 6, табл. 14, библиогр. - 11 назв.

Рецензент: к.т.н., доцент С.А. Бугубаев

Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2004 год.

С

Алматинский институт энергетики и связи 2004г.

Введение

С развитием промышленности получили дополнительное развитие электрические системы. Чтобы управлять и развивать электрические системы на помощь приходят математические методы прогнозирования, анализа и оптимизации. Решение оптимизационных задач очень важно для инженера-энергетика. Здесь необходимо учесть, что управление энергосистемой и её проектирование должны обеспечивать не только необходимые значения параметров режима, но и максимальную экономичность режима системы в целом при полном удовлетворении потребителей электроэнергией.

Зная алгоритм решения задачи линейного программирования, можно составить программу ее решения на ЭВМ. На сегодняшний день существуют много языков программирования (Pascal, Delhpi, С++, FoxPro, Basic)с помощью которых можно составлять программы для решения задач линейного программирования, математической статистики и т.д. Однако такие программы составить достаточно сложно, поэтому студентам предлагается решить поставленные задачи (на симплекс метод, транспортные задачи, задачи динамического программирования, сетевого моделирования) с помощью специально разработанной программы ПЭР (Пакет экономических расчетов).

При расчете оптимизационных режимов электроэнергетических систем неоценимую помощь оказывают универсальные компьютерные программы-симуляторы электрических систем. Они позволяют на модели произвести экспериментальные исследования, которые сложно и трудоемко выполнять в реальной системе.

Лабораторная работа № 1

Решение систем линейных уравнений и нахождение оптимальных решений с помощью Симплекс метода

1.1 Цель работы

Целью настоящей работы является решение математических задач энергетики с помощью линейного программирования.

1.2 Порядок проведения работы

1.2.1 Найти первоначальный опорный план.

1.2.2 Составить симплекс - таблицу (см. пример таблица 1.6.1).

1.2.3 Определить оптимальность опорного плана и при необходимости перейти к новому опорному плану.

1.2.4 Определить направляющие столбцы и строки.

1.2.5 По методу Жордана - Гаусса определить положительные компоненты нового опорного плана и записать в новой симплекс-таблице.

1.2.6 Проверить план на оптимальность. Если план не оптимален, то вернуться к пункту 1.2.3, а в случае оптимального плана или неразрешимости плана процесс решения заканчивается.

1.3 Оформление результатов работы

Отчет должен содержать:

1.3.1 Исходные данные в виде уравнения функции и системы линейных уравнений.

1.3.2 Первоначальный опорный план, записанный в виде симплекс-таблицы.

1.3.3 Все этапы решения (все симплекс – таблицы) до получения оптимального плана или неразрешимости плана.

1.4 Методические указания

Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функций возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план и каждый ее опорный план является невырожденным). Рассмотрим задачу, для которой требуется найти максимальное значение функции

при условиях

,

где,,(и)- заданные постоянные числа. Векторная форма данной задачи имеет следующий вид

(1.1)

при условиях

(1.2)

(), (1.3)

где,,,,,.

Так как, то по определению опорного плана является опорным планом данной задачи (последние компонентов вектора равны нулю). Этот план определяется системой единичных векторов которые образуют базис -мерного пространства. Поэтому каждый из векторов а также вектор могут быть представлены в виде линейной комбинации векторов данного базиса. Пусть. Так как векторы - единичные, то и, а.

Признаки оптимальности опорного плана:

1) Опорный план задачи (1.2)-(1.3) является оптимальным, если для любого ().

2) Если для некоторого и среди чисел нет положительных, то целевая функция (1.1) задачи (1.2)-(1.3) не ограничена на множестве ее планов.

3) Если опорный план задачи (1.2)-(1.3) не вырожден и, но среди чисел есть положительные (не все), то существует опорный план такой, что.

1.4.1 Этапы нахождение оптимального опорного плана симплекс-методом:

1 Найти опорный план

2 Составить симплекс – таблицу (таблица 1.6.1)

3 Проверить опорный план на оптимальность. Если имеется ли хотя бы одно отрицательное число, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану. Если нет, то найденный опорный план оптимален.

4 Найти направляющие столбец и строку. Направляющий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом, а направляющая строка - минимальным из отношений компонент столбца вектора к положительным компонентам направляющего столбца.

5 По методу Жордана - Гаусса определить положительные компоненты нового опорного плана, коэффициенты разложения векторов по векторам нового базиса и числа. Все числа записать в новой симплекс-таблице.

6 Проверить план на оптимальность. Если план не оптимален, то возвращаемся к 4 этапу, а в случае оптимального плана или неразрешимости плана процесс решения заканчивается.

1.5 Задание и исходные данные

Требуется найти максимальное или минимальное значение функции

при условиях

,

где, и f(x) min или max студент выбирает под начальной буквой фамилий, а элементы, и знаки ограничений выбираем по последней цифре номера зачетной книжки.

Таблица 1.5.1 – Исходные данные

Начальная буква фамилии студента	А, Д	Б, Е	В, Г, Я	Ж, З, И, Л	К	М, О	Н, П	Р, Т, У, Ф	С, Ч	Х, Ш, Щ, Э, Ю
Элементы целевой функций
C1				-1					-4
C2	-2							-2
C3		-1			-1	-1		-3		-3
C4		-1	-6	-	-	-1		-	-
f(x)	max	min	max	min	max	min	max	min	max	min

1.6 Используя программный продукт «Пакет экономических расчетов» рассмотрим решение примера 1.

Дано:

Все таблицы получены с помощью пакета экономических расчетов. Для этого открываем папку С/Program Files/ПЭР/Per.exe, открываем файл Per.exe и при нажатие любую клавишу зайдем в главную меню программы. В главном меню предложены 8 видов задач (программ) математического программирования, выбор программы производится клавишами: вниз, вверх и enter.

Таблица 1.5.2 – Исходные данные

Последняя цифра № зач. кн. Источники, потребления и стоимость перед. единицы ммощности	Элементы Ai, Bj,Cij
Мощность источников Aij	a11								-1
a12			-1				-1			-1
a13		-4							-3
a14	-6	-5	-1	-	-	-1		-	-
a21										-9
a22		-6		-3				-5
a23			-3			-3		-1
a24	-8	-1		-	-			-	-
a31							-1			-4
a32				-5					-3
a33		-2					-2
a34	-4			-	-		-2	-	-
Мощность потребителей Bj	b1				-5
b2
b3
b4	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Знаки ограничений (≤; ≥; =)		=	≤	=	≥	≤	=	≤	≤	=	≤
	=	≤	=	≤	=	=	≤	≤	=	≥
	=	≤	=	≤	≥	=	≤	≤	=	≥

Для нашего примера мы выбираем программу (задачу) «Линейное программирование», далее заходим в окно /Функции/Ввод новой задачи/, где даем любое имя своей задачи (файл/<Лаб1>) и нажатием enter, выводится окно / Ввод данных Лаб1 /. В этом окне предложено 7 пунктов соглашения, в дальнейшим вводим условие максимизации (минимизации) задачи - вводим <1>, количество переменных - <4>, ограничений - < 2>. Нажимая пробел, мы открываем окно, куда вводятся элементы целевой функции и ограничения (нажимаем enter, пробел и любую клавишу), выбираем в окне / Функций / -< решение задачи > и / открываются опции меню для решение задачи Лаб1 /, там выбираем опцию / решить и вывести все таблицы /, далее поэтапно получаем таблицу 1.6.1 "Начальную таблицу" и все итерации.

Таблица 1.6.1 - Начальная таблица

Базис	C(j)	X1	X2	X3	X4	A1	A2	B(i)	B(i)
8.000	6.000			- M	- M	A(i,j)
A1	- M	5.000	2.000	1.00		1.00	0.00	20.00
A2	- M	6.000	12.000		1.00		1.00	72.00
C(j)-Z(j)	8.000	6.000
* Big M					-1.00	-1.00	-92.0

где Х1,…Х4-переменные элементы системы; C(j)- базисные коэффициенты целевой функций; Х1,…,Х4 - коэффициенты ограничений; C(j)-Z(j)- коэффициенты целевой функции.

Таблица 1.6.2 – Итерация 1

Базис	C(j)	X1	X2	X3	X4	A1	A2	B(i)	B(i)
8.000	6.000			- M	- M	A(i,j)
A1	- M	5.000	2.000	1.00		1.00	0.00	20.00	10.00
A2	- M	6.000	12.000		1.00		1.00	72.00	6.000
C(j)-Z(j)	8.000	6.000
* Big M	11.00	14.00	1.00	1.00			-92.0

ТЕКУЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ (Max.) = 0 + (-92BigM)

ВВОДИМ: X2 Выводим: A2

Таблица 1.6.3 - Итерация 2

Базис	C(j)	X1	X2	X3	X4	A1	A2	B(i)	B(i)
8.000	6.000			- M	- M	A(i,j)
A1	- M	4.000		1.00	-.167	1.00	-.167	8.000	2.000
X2	6.000	0.500	1.000		0.083		0.083	6.000	12.00
C(j)-Z(j)	5.000			-.500		-.500	36.00
* Big M	4.000		1.00	-.167		-1.17	-8.00

ТЕКУЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ (Max.) = 36 + (-8BigM)

ВВОДИМ: X1 Выводим: A1

Таблица 1.6.4 – Конечная таблица

Базис	C(j)	X1	X2	X3	X4	A1	A2	B(i)	B(i)
8.000	6.000			- M	- M	A(i,j)
X1	8.000	1.000		0.250	-.042	0.250	-.042	2.000
X2	6.000		1.000	-.125	0.104	-.125	0.104	5.000
C(j)-Z(j)			-1.25	-.292	-1.25	-.292	46.00
* Big M					-1.00	-1.00

(Max.) Оптимальная величина ЦФ = 46

Таблица 1.6.5 – Итоговый результат для контрольного примера

Переменн No.Имена	РЕШЕНИЕ	Двойственн.оцен	Переменн No.Имена	РЕШЕНИЕ	Двойственн.оцен
1 X1 2 X2 3 X3	2.0000 5.0000 0.0000	0.0000 0.0000 1.2500	4 4 X4 5 5 A1 6 A2	0.0000 0.0000 0.0000	0.2917 0.2917 0.2917
MAX величина цел.ф-и = 46 Итерац.= 2

1.7 Контрольные вопросы

1.7.1 Как строится первоначальный опорный план задачи линейного программирования и проверяется на оптимальность?

1.7.2 Как определить вектор, подлежащий исключению из базиса?

1.7.3 Какой метод решения систем линейных уравнений лежит в основе симплекс - метода?

1.7.4 Какой элемент называется разрешающим?

1.7.5 Как определяется вектор для включения в базис, если первоначальный план не является оптимальным?

1.7.6 Этапы нахождение оптимального опорного плана симплекс – методом?

Лабораторная работа № 2

Определение оптимального плана электроснабжения потребителей с помощью транспортных задач

2.1 Цель работы

Целью настоящей работы является составление такого плана перевозок, который обеспечивал бы минимальные стоимости передачи (перевозок) единицы мощности энергии, и который удовлетворял бы спрос всех потребителей за счет распределения энергии, произведенной всеми пунктами источников питания.

2.2 Порядок проведения работы

2.2.1 Проверить транспортную задачу на условие разрешимости и составить матрицу планирования (см. пример таблица 2.6.1).

2.2.2 Найти первоначальный опорный план методом северо-западного угла с помощью пакета экономических расчетов.

2.2.3 Определить оптимальность опорного плана и при необходимости перейти к новому опорному плану.

2.2.4 Построить системы потенциалов и проверить выполнение условия оптимальности для незанятых клеток.

2.2.5 Выбрать клетку, в которую необходимо послать перевозку и построить замкнутый цикл, определив величины перераспределения груза.

2.2.7 Новый план проверить на оптимальность. Если план неоптимальный, то перейти к п. 2.2.5, в противном случае процесс решения заканчивается.

2.3 Оформление результатов работы

Отчет должен содержать:

2.3.1 Исходные данные оформляются как в примере 2.

2.3.2 Все таблицы должны быть заполнены, итоговый результат записан.

2.4 Методические указания

В - пунктах источниках питания находится однородный продукт, (энергия) в количествах, соответственно мощностью источников, который должен быть доставлен - потребителям в количествах, соответственно мощности потребителей. Известны стоимость передачи единицы продукта, связанные с перевозкой единицы продукций из пункта в пункт.

Требуется составить такой план перевозок, который обеспечивал бы при минимальных стоимости передачи (перевозок) единицы мощности энергии и удовлетворял бы спрос всех потребителей за счет распределения энергии, произведенной всеми пунктами источников питания.

Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи является равенство (2.1*)

(2.1*)

Если или, то имеем транспортную задачу с открытой моделью.

- матрица расходов (затрат) или матрица стоимости передачи единицы мощности.

Планом ТЗ называется, где каждое число обозначает количество единиц груза, который надо доставить из -го пункта отправления в -го назначения.

- матрица перевозок (передач).

Общие суммарные затраты, связанные с реализацией плана перевозок можно представить целевой функцией:

(2.1)

Математическая модель:

()

(2.2)

()

(;) (2.3)

Система ограничений задачи содержит уравнений с m n переменными.

Необходимым и достаточным условием решения задачи является то, что ранг матрицы ТЗ должен быть на единицу меньше числа уравнений, т.е..

Из условия следует, что каждый опорный план имеет базисных переменных и -()= свободных переменных, равных нулю.

2.4.1 Исходный опорный план можно получить следующими методами

2.4.1.1 Метод северо-западного угла. Для составления исходного опорного плана, заполняем таблицу с левого верхнего (северо-западного) угла, двигаясь далее по строке вправо или по столбцу вниз.Этот метод обычно оказывается далеким от оптимальности, так как не учитывает величины
затрат (расходов).

2.4.1.2 Методом минимального элемента.Сущностьего состоит в том, что заполнение начинается с клетки, которая соответствует минимальному элементу матрицы стоимости передачи единицы мощности (расходов).

Полученные опорные решения транспортной задачи необходимо проверить на оптимальность с помощью метода потенциалов.

2.4.2 Проверка опорного решения на оптимальность проводится с помощью метода потенциалов.

Первоначальный опорный план оптимален при следующих условиях:

1) для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна быть равна стоимости единицы перевозок, стоящей в этой клетке

U^*_i + V^*_j =Cij (2.4)

2) для каждой незанятой клетки сумма потенциалов должна быть меньше или равна единицы перевозки, стоящей в этой клетке

U^*_i + V^*_j ≤Cij (2.5)

Если хотя бы одна незанятая клетка не удовлетворяет условию, то опорный план является неоптимальным и его можно улучшить, вводя в базис вектор, соответствующий клетке, для который нарушается условие оптимальности (в клетку max [(U^*_i+V^*_j)-C_ij] надо переместить некоторое количество единиц груза, т.е. загрузить).

2.5 Задание и исходные данные

Пусть имеются A - электростанций с мощностями, и B -потребители с мощностью потребление. Дана матрица стоимости передачи единицы мощности. Требуется найти минимальную стоимость передачи электроэнергии от электростанций к потребителям.

Для этого: мощность электростанций, - мощность потребителей, -элементы выбирают по предпоследней цифре номера зачетной книжки по таблице 2.5.1.

2. 6 Пример выполнения задания

Используя программный продукт ПЭР (Пакет экономических расчетов), рассмотрим пример 2.

Дано:

S₁ =30 D₁=20, D₄=10

S₂=40 D₂=25

S₃=20 D₃=35

Cij =

Таблица 2.5.1 – Исходные данные

Источники, потребления и стоимость пере- дачи.единицы мощности

	ЭлементыAi, Bj, Cij
Мощность источников Ai	a1
a2
a3
a4	-		-		-		-			-
a5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Мощность потребителей   Bj	b1
b2
b3
b4
b5		-		-	-	-				-
Стоимость передачи единицы мощности C ij	c11
c12
c13
c14
c15		-		-	-	-				-
c21
c22
c23
c24
c25		-		-	-	-				-
c31
c32
c33
c34
c35		-		-	-	-				-
c41	-		-		-		-			-
c42	-		-		-		-			-
c43	-		-		-		-			-
c44	-		-		-		-			-
c45	-	-	-	-	-		-			-

Для нашего примера мы выбираем программу (задачу) «Транспортная задача», далее заходим в окно / Функций / Ввод новой задачи /, где даем любое имя своей задачи. Задача называется - (файл/<Лаб2>) и нажатием enter, выводится окно / Ввод данных Лаб1 /. В этом окне предложено 7 пунктов соглашения, в дальнейшим вводим условие максимизации =1 (минимизации=2) задачи вводим < 1 >, количество поставщиков - < 3 >, потребителей - < 4 >. Нажимая пробел, мы открываем окно, куда вводится объем поставок и запрос потребителей (нажимаем enter, пробел и любую клавишу), заходим в окно, куда вводятся коэффициенты матрицы перевозок единицы мощности (нажимаем enter, пробел и любую клавишу), выбираем в окне / Функций/-<решение задачи> и / открываются опции меню для решение задачи Лаб2 /, там выбираем опцию /решить и вывести каждую итерацию /, далее поэтапно получаем "Начальную таблицу", т.е. матрицу планирования и все итерации. На последнем итерации "Конечная таблица", нажимая любую клавишу, выводим конечное решение, т.е. выводим итоговый результат для Лаб2.

Таблица 2.6.1 – Начальная таблица «Матрица планирования»

^Из\В	D1	D2	D3	D4	Пост	Ui
S1	^2	^3	^5	^4
S2	^3	^2	^4	^1
S3	^4	^3	^2	^6
Потр
Vj

Таблица 2.6.2 - Итерация 1

^Из\В	D1	D2	D3	D4	Пост	Ui
S1	20 ^2	10 ^3	^5	^4
S2	^3	15 ^2	25 ^4	**^1		- 1
S3	^4	^3	10 ^2	10 ^6		-3
Потр
Vj				9

Текущая MIN величина ЦФ = 280 с e(2, 4) =-7

Таблица 2.6.3 – Конечная таблица

^Из\В	D1	D2	D3	D4	Пост	Ui
S1	20 ^2	10 ^3	^5	^4
S2	^3	15 ^2	15^4	10^1		-1
S3	^4	^3	20 ^2	^6		-3
Потр
Vj

MIN величина ЦФ = 210

Таблица 2.6.4 – Итоговый результат для ЛАБ 2

ИЗ	В	Поставка	Оценка	ИЗ	В	Поставка	Оценка
S1	D1	20.0	2.000	S2	D3	15.0	4.000
S1	D2	10.0	3.000	S2	D4	10.0	1.000
S1	D3	0.0	5.000	S3	D1	0.0	4.000
S1	D4	0.0	4.000	S3	D2	0.0	3.000
S2	D1	0.0	3.000	S3	D3	20.0	2.000
S2	D2	15.0	2.000	S3	D4	0.0	6.000

MIN величина ЦФ = 210 (возм. неоднозн.) Итераций = 1

2.7 Контрольные вопросы

2.7.1 Построение первоначального опорного плана транспортной задачи линейного программирования (методы построения).

2.7.2 Сформулируйте транспортную задачу линейного программирования и запишите ее математическую модель.

2.7.3 Дайте определение открытой и закрытой транспортных задач, в чем отличительные особенности их решения?

2.7.4 Метод потенциалов.

2.7.5 Условия оптимальности плана транспортной задачи линейного программирования?

Лабораторная работа № 3

Имитационные исследования трансформаторов в среде Electronics Workbench.

3.1 Цель работы

3.1.1 Изучить принцип действия и основные закономерности электромагнитных процессов, происходящие в трансформаторах.

3.1.2 В среде Electronics Workbench имитировать процесс исследования трансформаторов в режимах холостого хода, короткого замыкания и под нагрузкой.

3.1.3 Провести анализ осциллограмм тока I₂(t), напряжения U₂(t) при активной, индуктивной и смешанной нагрузке трансформатора.

3.2 Средства для имитационного исследования трансформаторов

В лабораторной работе используются следующие элементы Electronics Workbench:

¨ ¨ источники переменного напряжения;

¨ ¨ резисторы;

¨ ¨ конденсаторы;

¨ ¨ катушки индуктивностей;

¨ ¨ трансформаторы;

¨ ¨ вольтметры;

¨ ¨ амперметры;

¨ ¨ осциллографы;

¨ ¨ блок ваттметра.

3.3 Краткие теоретические сведения

Трансформатор состоит из замкнутого стального магнитопровода, на котором располагаются две или несколько обмоток, электрически не соединенные между собой.

Часть магнитопровода, на котором располагаются обмотки, называется стержнем. Обмотка, к которой электрическая энергия подается, называется первичной; другая обмотка, к которой присоединяются приемники энергии, называется вторичной.

3.3.1 Режим холостого хода трансформатора

Подведем к первичной обмотке трансформатора синусоидальное напряжение u₁ = U_1M sin ωt (рисунок 3.1).

Рассмотрим процессы при разомкнутом рубильнике p₂, т.е. когда вторичная обмотка трансформатора не замкнута (режим холостого хода).

Под действием приложенного напряжения в первичной обмотке возникнет переменный ток, который аналогично току в цепи с индуктивностью будет отставать от напряжения по фазе на угол, близкий к 90°, а в магнитопроводе трансформатора возникнет переменный магнитный поток, практически совпадающий по фазе с током и пронизывающий витки обеих обмоток трансформатора. Переменный магнитный поток наводит в первичной и во вторичной обмотках трансформатора э.д.с.

На основании второго правила Кирхгофа, пренебрегая падением напряжения в первичной обмотке, можно определить действующее значение напряжения на зажимах первичной обмотки и действующее значение э.д.с, наведенной в первичной обмотке

U₁ = E₁ = 4,44 f ω₁ Ф_М. (3.1)

Мгновенное значение напряжения на зажимах разомкнутой вторичной обмотки равно мгновенному значению е₂. Таким образом,

u₂ = e₂

U₂ = E₂ = 4,44 f ω₂ Ф_М. (3.2)

Схема соединения трансформатора

Рисунок 3.1

Отношение э.д.с обмотки высшего напряжения к э.д.с. обмотки низшего напряжения называется коэффициентом трансформации (обозначение k.). При холостом ходе оно равно

k = U₁/U₂ (3.3)

или

. (3.4)

Если >l трансформатор носит название понижающего, то при <1 - повышающего. Как было уже упомянуто, ток в первичной обмотке при режиме холостого хода отстает от напряжения на угол φ₁, близкий к 90°. Косинус угла φ₁ при холостом ходе составляет около 0,1. Величина тока I_X при холостом ходе составляет (3 ÷ 8)% номинального тока первичной обмотки. Произведение I_X ω₁ при холостом ходе называется намагничивающей силой трансформатора и обозначается F_X. Таким образом,

F_X = I_X ω₁. (3.5)

3.3.2 Работа нагруженного трансформатора

Присоединим ко вторичной обмотке трансформатора приемник энергии. В цепи вторичной обмотки возникнет ток I₂. Величина этого тока зависит от E₂ и полного сопротивления вторичной цепи. При смешанной индуктивной нагрузке ток I₂ отстает по фазе от E₂ на угол ψ₂.

Токи I₁ и I₂ сдвинуты по фазе на угол, близкий к 180°.

При неизменном значении первичного напряжения и изменении нагрузки трансформатора Р₂ от нуля до номинальной будет увеличиваться как вторичный, так и первичный токи трансформатора, будут увеличиваться и падения напряжения в его обмотках (I₁z₁ и I₂z₂), а напряжение на зажимах вторичной обмотки будет уменьшаться.

Если обозначить U₂ напряжение на зажимах вторичной обмотки трансформатора при нагрузке, а U_2X - при холостом ходе, то величина

, (3.6)

называется процентным изменением напряжения трансформатора.

Величина ΔU% зависит не только от величины тока нагрузки, но и от характера нагрузки, т.е. от cos φ₂.

Процентное изменение напряжения в современных трансформаторах незначительно, порядка 2¸3%.

3.3.3 Мощность трансформатора и к.п.д.

Первичная мощность трансформатора

Ρ₁ = U₁ I₁ cos φ_1. (3.7)

Вторичная мощность трансформатора

Ρ₂ = U₂ I₂ cos φ_2. (3.8)

Разность между первичной и вторичной мощностями (P₁—P₂) представляет собой мощность потерь. Потери в трансформаторе состоят из двух частей: 1) потери в меди обмоток Р_M и 2) потери в стали трансформатора от гистерезиса и вихревых токов Р_ст = Р_г + Р_с.

Потери в стали могут быть определены из опыта холостого хода, т.е., когда рубильник р₂ разомкнут, а рубильник p₁ замкнут и к трансформатору подведено U₁ = U_1H. В этом случае ваттметр покажет

Р_X = P_ст + Р_MX.

Так как потери в меди при холостом ходе Р_MX ничтожно малы, то

Р_X = Р_M. (3.9)

Потери в меди определяются опытом короткого замыкания, когда зажимы вторичной обмотки ах замкнуты накоротко, а к первичной обмотке подведено такое пониженное напряжение U_K, при котором токи в обмотках будут номинальными. Это напряжение называется напряжением короткого замыкания и составляет 5 ÷ 12% U_H..

Ваттметр измерит мощность Р_K = Р_M+Р_ст.K. Однако, так как U_K ≈ 0,05U_H,, то индукция в стали ничтожно мала и потерями в стали при коротком замыкании Р_ст.K можно пренебречь. Тогда

Р_K = P_M. (3.10)

Коэффициент полезного действия трансформатора представляет собой отношение вторичной мощности Р₂ к первичной мощности P₁, т.е.

(3.11)

3.4 Содержание лабораторной работы

3.4.1 Схема эксперимента предоставлена на рисунке 3.2 в среде Electronics Workbench.

Режим нагрузки выбирается по варианту, выданному преподавателем, в соответствии с таблицей 3.1.

3.4.2 Включить трансформатор вхолостую и измерить первичное и вторичное напряжения U₁, и U₂. Измерить мощность холостого хода Ρ_X и ток холостого хода I_X. Подсчитать коэффициент трансформации, потери в стали и отношение (I_X/I_H)100%.

3.4.3 Произвести опыт короткого замыкания и измерить: напряжение при коротком замыкании U_K, мощность короткого замыкания Р_K, и ток в первичной обмотке I₁= I_H..

3.4.4 Рассчитать u_K = (U_K/U_H)100%, к.п.д. трансформатора при номинальном токе I₁ = I_H и a) cos φ₂ = 1 и б) cos φ₂ = 0,8.

3.4.5 Подключить нагрузку и измерить ток в первичной и вторичной обмотке, напряжение во вторичной обмотке. Как изменились их значения? Зарисовать осциллограмму тока и напряжения во вторичной обмотке.

3.5 Описание работы

Включение трансформатора производится по схеме и ее аналогу на рисунке 3.2. Для опыта холостого хода трансформатора при выключенном рубильнике p₂ замыкают рубильник p₁ и измеряют I_X, P_X и U₂. Перед включением рубильника токовую цепь амперметра и ваттметра шунтируют проводом малого сопротивления, как показано пунктиром на рисунке 3.1. После включения размыкают рубильник р₃ и производят измерения. При опыте необходимо, чтобы подведенное напряжение U_Х было равно указанному на щитке трансформатора, т.е. U_Н. Когда измеряют мощность P_X, вольтметр во вторичной цепи должен быть отключен. По полученным данным определяют:

1) коэффициент трансформации k = U₁/U₂;

2) потери в стали Р_ст = Р_X;

3) (I_X/I_1H)100%; обычно равное (10÷2,5)%I_K.

Для опыта короткого замыкания зажимы вторичной обмотки ax должны быть замкнуты накоротко проводом малого сопротивления, а к первичной подводится пониженное напряжение с таким расчетом, чтобы ток в первичной обмотке был равен номинальному (I₁ =I_1H). После этого измеряют U_K, I_1H и P_K. Тогда подсчитывают:

1) напряжение короткого замыкания u_K = (U_K/U_H)100%, равное обычно (3¸12%)U_H

2) потери в меди при номинальном токе Ρ_М = Р_K;

3) К.П.Д.

для cos φ₂ = 1 и cos φ₂ = 0,8.

Здесь

S_H = U_2HI_2H.

Технические данные указаны на щитке трансформатора.

В таблице 3.1 параметры трансформатора и нагрузки обозначены следующим образом:

K – коэффициент трансформации;

L_P – индуктивность рассеивания (Гн);

L₁ – индуктивность первичной обмотки (Гн);

R₁ – сопротивление первичной обмотки (Ом);

R₂ – сопротивление вторичной обмотки (Ом);

R_H, L_H, C_H – характер и значения нагрузочного сопротивления z_H трансформатора.

Для испытаний принимаем трансформатор на Р= 200Вт с номинальными параметрами: U_H = 220В; U_X = 12В (для варианта №1).

Схема имитационных исследований трансформатора

в среде Electronics Workbench

б)

а)

Рисунок 3.2

3.5 Контрольные вопросы

3.5.1 Объясните принцип действия трансформаторов.

3.5.2 Изобразите векторную диаграмму трансформатора при холостом ходе.

3.5.3 Изобразить векторную диаграмму намагничивающих сил.

3.5.4 От чего зависит КПД трансформатора.

3.6 Контрольный пример

Контрольный пример по лабораторной работе № 3 приводится в файле LAB17_1K.ewb.

3.7 Список файлов к лабораторной работе № 3

LAB – База данных лабораторного комплекса

LAB17_1.ewb – Файл – схема

LAB17_1K.ewb – Контрольный пример по лабораторной работе № 3^*.

Таблица 3.1 - Параметры вариантов имитационных исследований

№ пп	K	LP, Гн	L1, Гн	R1, Ом	R2, Ом	zH
RH, Ом	LH, Гн	CH, мкФ
	18.5	0.023	38.5	1.2	0.001	0.72	-	-
	17.5	0.027	39.5	1.4	0.0012	-		-
		0.024	40.0	1.2	0.0013	-	-
	18.3	0.030	38.8	1.3	0.0015	0.3		-
	18.4	0.029	40.5	1.2	0.001	0.3	-
	17.7	0.025	38.6	1.2	0.0014	0.2		-
	17.9	0.023	38.9	1.5	0.0011	-
	17.4	0.029	39.3	1.2	0.001	0.4
	17.2	0.030	39.9	1.5	0.0012	0.55		-
	17.3	0.028	38.5	1.5	0.0015	0.32	-
	18.4	0.024	39.6	1.4	0.0014	0.23
	18.5	0.026	39.7	1.3	0.0013	-
	17.7	0.025	38.7	1.4	0.0015	0.67	-	-
		0.027	38.5	1.3	0.0011	0.21		-
	18.1	0.024		1.3	0.0012	-		-
	18.3	0.023	40.4	1.2	0.001	-	-
	17.4	0.028	40.2	1.5	0.001	0.41		-
	17.9	0.029	38.6	1.4	0.0014	0.25	-
	18.5	0.024	40.1	1.4	0.0012	0.48		-
		0.025	39.1	1.2	0.0011	0.7		-
		0.027	39.8	1.5	0.0013	0.62
	17.3	0.026	40.3	1.2	0.0015	0.59		-
	17.7	0.029	38.5	1.2	0.0015	-	-
	18.3	0.030	40.1	1.4	0.0012	-		-
		0.030	40.5	1.5	0.0015	0.33

Примечание: при использовании осциллографа следует учитывать, что при снятии значения тока по каналу «А», реальный ток в цепи в 1000 раз больше.

Лабораторная работа № 4

Исследование электромагнитных процессов в асинхронных двигателях

4.1 Цель работы

4.1.1 Изучить принцип действия асинхронного двигателя с помощью математической модели.

4.1.2 Изучить закономерности, описывающие электромагнитные и электромеханические процессы в асинхронных двигателях.

4.1.3 Исследовать электромагнитные и электромеханические процессы в цепях асинхронных двигателей (АД) в пусковых режимах.

4.2 Средства и системы исследования асинхронных двигателей

Процессы, происходящие в асинхронных двигателях описываются громоздкими математическими зависимостями, которые с достаточной степенью точности сложно реализовать в среде Electronics Workbench, поэтому в качестве средств для исследования АД в настоящей работе предлагается использовать систему структурно-функционального имитационного моделирования MVTU /4/.

4.3 Краткие теоретические сведения

Принцип устройства электродвигателей трехфазного тока основан на явлении вращающегося магнитного потока.

В двигателях трехфазного тока обмотка образована тремя катушками, расположенными на неподвижной станине - статоре; внутри статора помещен стальной барабан - ротор, вдоль образующих которого в пазах уложе­ны провода, соединенные между собой на обоих торцах кольцами.

Вращающийся магнитный поток статора пересекает проводники обмотки ротора и наводит в них э.д.с., а так как проводники замкнуты, то в них возникает ток. Ток, взаимодействуя с вращающимся магнитным потоком, вызы­вает силу, увлекающую ротор вслед за вращающимся по­током. С ростом скорости вращения ротора уменьшается скорость, с которой проводники ротора пересекают маг­нитные линии; если бы ротор достиг той же скорости враще­ния, что и магнитный поток статора, то пересечения про­водников вообще не происходило бы, и ток в роторе стал бы равен нулю. Но при отсутствии тока в роторе вра­щающий момент также равен нулю: следовательно, при нали­чии тормозного момента магнитный поток и ротор не могут вращаться с той же скоростью, что и поток статора (син­хронно); скорость вращения ротора всегда несколько мень­ше. Поэтому двигатели такого типа называются асин­хронными (т.е. несинхронными).

Известны три основных закона, определяющие процессы, происходящие в асинхронных двигателях.

I Электромеханическое преобразование энергии не может осуществляться с КПД, равным 100%.

Распределение потоков энергии в электрической машине

Рисунок 4.1

———— - направление потоков энергии в двигательном режиме;

— — — - направление потоков энергии в генераторном режиме.

При создании электромеханических преобразователей энергии (ЭП) стремятся уменьшить потери - потоки тепловой энергии, что приводит к уменьшению габаритов и удешевлению ЭП. Созданы ЭП с КПД, равным 98%, а в трансформаторах достигнут КПД, равный 99,8%. Такие высокие КПД являются исключительным техническим достижением, а в естественных электромеханических преобразователях распределение потоков электрической, механической и тепловой энергий близко друг к другу (рисунок 4.1).

Следует иметь в виду, что высокие КПД имеются в электрических машинах большой мощности. В ЭП небольшой мощности КПД может составлять всего несколько процентов, т.е. большая часть механической или электрической энергии преобразуется в теплоту.

Нельзя создать электрическую машину, в которой не происхо­дило бы преобразования энергии в теплоту. Для этого она долж­на быть выполнена со сверхпроводящими обмотками.

II Все ЭП обратимы, т.е. они могут работать как в двигательном, так и в генераторном режимах.

Работа в двух режимах является важнейшим преимуществом ЭП перед другими преобразователями энергии (паровыми турби­нами, дизелями, реактивными двигателями и т.п.). Режим работы электрической машины зависит от момента сопротивления на валу M_С.. Если электрическая энергия потребляется из сети, ЭП рабо­тает в режиме двигателя. Если поток механической энергии, по­ступающий через вал ЭП, преобразуется в поток электромагнит­ной энергии, устанавливается генераторный режим работы ЭП.

Активная мощность в двигательном и генераторном режимах изменяет направление, однако, поток тепловой энергии, как пра­вило, направления не изменяет. Потери в обычных ЭП необра­тимы.

Как и в большинстве преобразователей энергии, в электриче­ских машинах имеется резонанс. Электрические и механические явления в большинстве ЭП настроены в резонанс. В электрических машинах имеется электромеханический резонанс, когда частота вращения поля f₁ и механическая частота вращения ротора п, выраженная в оборотах в секунду, определяются соотношением

f₁ = pn, (4.1)

где p - число пар полюсов.

III Электромеханическое преобразование энергии осуществляется полями, неподвижными относительно друг друга.

Неподвижные относительно друг друга поля ротора и статора в воздушном зазоре машины создают результирующее поле и электромагнитный момент

M_Э = ω_с^-1 Р_э.м, (4.2)

где ω_с - угловая скорость вращения поля; P_эм - электромагнит­ная мощность.

Поля, перемещающиеся в воздушном зазоре относительно друг друга, создают поток тепловой энергии, косвенно влияя на рас­пределение потоков механической и электрической энергии.

Обмотки электрических машин выполняют таким образом, что в воздушном зазоре создается вращающееся поле. Вращающееся поле может создаваться

Дата добавления: 2014-01-04