Теоремы о дифференцируемых функциях

Лекция 13.

ПЛАН

1. Введение.

2. Теорема Ферма. Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке.

3. Теорема Ролля.

4. Теорема Лагранжа – теорема о среднем значении.

5. Теорема Коши об отношении приращений.

6. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида.

13.1. Введение

Как только стало возможным определить скорость изменения функции с помощью производной – пытливое человечество (в лице аристократов математиков) тут же стало возводить храм «Дифференциального исчисления», фундаментом которого являются теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя, Тейлора. Бегло осмотрим их наследие, взяв на заметку (и на вооружение) то, что может пригодиться нам в дальнейшем.

13.2. Теорема Ферма. Наибольшее и наименьшее
значение функции на отрезке

Теорема 13.1 (теорема Ферма). Пусть функция определена и дифференцируема на интервале и в некоторой точке принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда производная в этой точке будет равна нулю.

Доказательство.

Рассмотрим функцию , отвечающую теореме Ферма, и принимающую в точке наибольшее значение (рис. 13.1). Тогда для этой точки справедливо неравенство для всех x из некоторой окрестности точки x ₀.

Найдем производную в точке , воспользовавшись определением:

.

Если слева, то D x будет меньше нуля, приращение , а их отношение .

Если справа, то , и .

Запишем это в общем виде:

Но не должна зависеть от способа стремления к нулю. Поэтому, если дифференцируема, то ее производная в точке может быть равна только нулю, что и требовалось доказать.

Геометрически теорему Ферма можно пояснить так. Если – точка, в которой функция принимает наибольшее для интервала значение, то касательная в точке будет параллельна оси (рис. 13.1). Но , что и следовало из теоремы.

Кинетически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего и наименьшего значений скорость изменения функции равна нулю. Она как бы застывает в этой точке перед последующим падением или взлетом.

Позднее эти точки назовут экстремальными и теорему Ферма (без указания авторства) будут применять для их нахождения. Такова жизнь.

Вопросы к размышлению (для отличников).

1. Будет ли верна теорема Ферма, если интервал заменить отрезком ?

2. Будет ли верна теорема Ферма для функции на рис. 13.2? Какие условия нужно добавит в теорему?

3. Будет ли верна обратная теорема, которая формулируется так: пусть функция непрерывна и дифференцируема на интервале и в некоторой точке ее производная обращается в нуль. Тогда точка – точка экстремума.

Для иллюстрации (или опровержения) этой теоремы приведите соответствующие примеры и тогда вам все станет ясно.

А теперь дадим правило для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке .

Для того, чтобы найти и , нужно найти точки, где , либо не существует, а также и . Из найденных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример 13.1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение.

1. Найдем , и точки, где .

, если .

Обе точки принадлежат рассматриваемому интервалу.

2. Найдем и и сравним полученные результаты.

Теорему Ферма иногда называют теоремой о корнях производной. Напомним, что корнем функции называется точка, где и график пересекает ось . Вернитесь в прошлую лекцию, п. «Графическое дифференцирование». График функции пересекает ось в точке максимального значения.

Следующая теорема ничего нового для нахождения экстремальных точек не даст, но она необходима для доказательства последующих теорем Лагранжа и Коши, которые, как мы увидим, имеют уже практическое значение.

13.3. Теорема Ролля

Теорема 13.2 (теорема Ролля). Если функция непрерывна и дифференцируема на отрезке и на концах отрезка обращается в нуль, т.е. , то внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой производная равна нулю .

Геометрическая иллюстрация этой теоремы приведена на рис. 13.3.

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений и (см. теоремы о непрерывных функциях в лекции 10).

Если эти значения достигаются на концах отрезка, то это означает, , т.е. функция является постоянной, производная от которой равна нулю.

Пусть одно из чисел, например M, достигается внутри отрезка . Значение аргумента в этой точке обозначим через . Поскольку функция в этой точке дифференцируема, то по теореме Ферма , что и требовалось доказать.

Но существуют еще две точки, в которых производная обращается в нуль – это точки , поэтому в условии теоремы написано «хотя бы одна точка…»

Вообще в теоремах нет лишних слов. Каждое слово означает требование, которое следует выполнить.

Для иллюстрации этого положения рассмотрим функцию на отрезке . Она непрерывна на этом отрезке и и , т.е. два условия теоремы выполнены. Найдем .

Эта производная нигде не обращается в нуль. Что же, теорема Ролля не верна? Верна.

Мы забыли еще одно требование – требование дифференцируемости. В точке , не существует, т.е. не дифференцируема и, следовательно, применить к ней теорему Ролля нельзя. График функции изображен на рис. 13.4.

Так математика учит нас зоркому отношению к «мелочам».

А теперь вопросы.

1. Как измениться формулировка теоремы Ролля для функции, изображенной на рис. 13.4.?

2. Будет ли верна теорема Ролля, если условие заменить на ?

Следующую теорему используют для доказательства многих важных теорем, поэтому отнеситесь к ней внимательно.

13.4. Теорема Лагранжа о среднем значении

Теорема 13.3 (теорема Лагранжа). Если функция непрерывна и дифференцируема на отрезке , то внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой производная равна отношению приращения функции к приращению аргумента :

. (13.1)

Геометрическая интерпретация этой теоремы дана на рис. 13.5.

Пусть непрерывна и дифференцируема на отрезке . Проведем хорду , получим , в котором , и тангенс угла наклона хорды равен . Теорема утверждает, что найдется хотя бы одна точка на графике функции , в которой касательная параллельна хорде или .

Доказательство.

Для доказательства теоремы Лагранжа используем прием, которым часто пользуются в математике – введение дополнительной функции, обладающей заданными свойствами. В ней обязательно должно присутствовать выражение, входящее в доказательство . Эта дополнительная функция похожа на обертку – сохраняет и доставляет товар покупателю и сразу исчезает, как только товар начинают применять по назначению.

Итак, введем дополнительную функцию

. (13.2)

Запишем уравнение хорды , как уравнение прямой, проходящей через данную точку и заданным угловым коэффициентом

,

. (13.3)

Подставим (13.3) в (13.2), получим:

. (13.4)

Функция отвечает всем условиям теоремы Ролля: – непрерывна, дифференцируема и (подставьте и убедитесь). Следовательно, существует такая точка , в которой . Находим . Отсюда , что и требовалось доказать.

Формула (13.1) иногда записывается в следующем виде:

(13.5)

и читают так: приращение функции на отрезке равно произведению длины этого отрезка на значение производной от этой функции в некоторой внутренней точке – .

Аналог этой формулы мы встретим и в интегральном исчислении, когда будем знакомиться со свойствами определенного интеграла

.

Подобные формулы существуют и в двойных и в тройных интегралах. Их называют теоремами о среднем значении. О каком же «среднем» значении идет речь в теореме Лагранжа?

Вспомним механический смысл производной. Если – путь, пройденный точкой от начального положения, то есть путь, пройденный с момента по момент , а отношение – средняя скорость за этот промежуток времени. Причем неважно, какие зигзаги делал этот путь – важны начальная и конечная точки. Поэтому и – это скорость в серединной (или очень близкой к ней) точке отрезка . Интересный результат, правда? Мы его потом используем в экономике.

Пример 13.2. На кривой найти точку, в которой скорость изменения имеет среднее значение на отрезке .

Решение. Запишем формулу Лагранжа с учетом, что и .

,

т.е. близко к середине отрезка . Число 364 – это скорость. Она может измеряться в км/ч, если x измеряется в часах, y в километрах; руб./мес., если y – это деньги, x – время в месяцах и т.д.

Следующая теорема является обобщением теоремы Лагранжа на случай двух функций и . Она позволяет сравнивать скорости изменения этих функций на отрезке с результатами приращений. Интуитивно ясно, чем больше приращение, тем больше скорость. Именно об этом говорит теорема Коши.

13.5. Теорема Коши об отношении приращений

Теорема 13.4 (теорема Коши). Если функции и непрерывны и дифференцируемы на отрезке , причем и , то внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка , для которой выполняется равенство:

. (13.6)

То есть пути, пройденные функциями и в промежуток относятся как скорости в какой-то промежуточной точке , одинаковой для обеих функций.

Доказательство. Доказывают эту теорему с помощью введения вспомогательной функции

, (13.7)

которая отвечает теореме Ролля: (проверьте, вместо подставив и ), непрерывна и дифференцируема, как и и , поэтому найдется хотя бы одна точка , в которой .

Находим для равенства (13.7):

как производные от постоянных. Откуда и получаем формулу (13.6).

Должны сказать, что доказательств всех четырех вышеизложенных теорем существует множество, поэтому мы не стали приводить их здесь, в этом пособии. Найдите их в учебнике, придумайте свое – выбор за вами, но результат должен быть.

А теперь вопрос: можно ли было доказать теорему Коши с помощью простого деления левой части (и числителя и знаменателя) на , вот так:

?

Та ли это точка , о которой шла речь в теореме Лагранжа (приблизительно середина отрезка )? Подумайте. А пока пример.

Пример 13.3. Две фирмы в течении двух лет , получали прибыль по законам: первая , вторая . Во сколько k раз вторая фирма получит больше прибыли на конец 2 года и в какой промежуток времени скорости их обогащения будут также равны k?

Дата добавления: 2014-01-04