Леонардо да Винчи

Лекция 15.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ К ЭКОНОМИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

Ни одно человеческое исследование не может называться наукой, если оно не прошло через математические
доказательства.

ПЛАН

1. Экономический смысл производной.

2. Эластичность. Задача о спросе и предложении

3. Применение производной для функции, заданной таблично.

15.1. Экономический смысл производной

Рассмотрим задачу, иллюстрирующую экономический смысл производной. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x. Пусть D x – прирост продукции, тогда D y – приращение издержек производства. Воспользуемся формулой (11.12)

Если , то получим

.

Таким образом, производная характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции и выражает предельные издержки производства.

Аналогичным образом, могут быть определены предельные выручка, предельный продукт и другие предельные показатели. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величина), а процесс, изменение экономического объекта.

Пример 15.1. Функция издержек производства продукции некоторой фирмы имеет вид

.

Найти средние и предельные издержки и вычислить их значение при .

Решение. Найдем производную и ее значение – предельные издержки производства:

, .

Средние издержки:

, .

Это означает, что при данном уровне производства (количестве выпускаемой продукции) средние затраты на производство одной единицы продукции составляют 28 ден. ед., а увеличение объема производства на одну единицу продукции обойдутся фирме приближенно в 11 ден. ед.

15.2. Эластичность. Задача спроса и предложения

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности.

Определение 15.1. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции y(x) к относительному приращению переменной x при :

. (15.1)

Вспоминая определение производной, получим

. (15.2)

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при увеличении независимой переменной на 1%.

Отметим, что эластичность можно представить в виде

. (15.3)

В связи с этим становятся понятными следующие свойства эластичности:

, .

Пример 15.2. Найти эластичность функций: а) , б) .

Решение. а) Поскольку , то по формуле (15.2) получаем

.

б) Для степенной функции

.

Как мы видим, эластичность степенной функции есть величина постоянная, равная показателю степени. Это характерное свойство только степенных функций. Поэтому степенные функции довольно часто используются в экономической теории, т.к. все ее параметры имеют четкий экономический смысл.

В случае табличного задания функции определение эластичности не однозначно. Это связано с тем, что в отношении не ясно, что брать в качестве x: первоначальное значение x ₁, конечное значение x ₂ или среднее значение . В зависимости от этого различают:

конечную эластичность

,

среднюю эластичность

,

а также логарифмическую эластичность

.

Все эти выражения мало отличаются друг от друга при небольших относительных изменениях величин x и y.

Эластичность функций часто применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса y относительно цены x (или дохода x) показывает, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при увеличении цены (или дохода) на 1%. Спрос называется эластичным, если , неэластичным, если , и нейтральным, если .

Пример 15.3. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x (млн. руб.) выражается функцией

.

Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб.

Решение. Воспользуемся решением предыдущей задачи

.

В нашем случае

.

При

,

т.е. при выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,5%.

Пример 15.4. Функция спроса и предложения имеют соответственно вид:

, ,

где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и продаваемого в единицу времени, p – цена единицы товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложения уравновешиваются; б) эластичности спроса и предложения при равновесной цене; в) изменение дохода при увеличении цены на 10% от равновесной.

Решение. а) Равновесная цена определяется из условия , т.е.

,

откуда находим и . Последний корень отбрасываем, т.к. цена не может быть отрицательной и устанавливаем, что равновесная цена равна 2 ден. ед.

б) Найдем эластичности спроса и предложения. Вычисляем соответствующие производные:

, ,

и подставляем их в формулу (15.2):

,

.

Для равновесной цены имеем

, .

Так как полученные значения эластичностей меньше 1, то спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цен не приведет к резкому изменению спроса и предложения.

в) При увеличении цены p на 10% от равновесной цены спрос уменьшится на , следовательно, доход от проданной продукции (цена p умноженная на количество q проданного товара) возрастет в целом на . Несмотря на то, что цена на товар увеличилась и спрос на нее упал, предприятие все равно получает прибыль.

Пример 15.5. Зависимость между спросом и ценой q и ценой p за единицу продукции, выпускаемой некоторым предприятием, дается соотношением:

.

Найти эластичность спроса. Выяснить, при каких значениях цен спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным. Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать руководителям предприятия при и при ден. ед.?

Решение. Найдем эластичность по формуле (15.2):

.

Для нахождения p воспользуемся тем, что при нейтральном спросе , т.е.

.

Тогда .

Далее, принимая во внимание, что цена и спрос , получим еще одно ограничение на p:

.

Таким образом, область изменения цены p интервал (0; 324). Причем он точкой p = 144 делится на две части. Посмотрим модуль эластичности на каждой из них.

1. На интервале возьмем значение p = 100. В этом случае эластичность равна , т.е. . Спрос при этих значениях цен является неэластичным: цена на товар растет быстрее, чем уменьшается на нее спрос.

2. На интервале возьмем значение p = 225. В этом случае эластичность равна , т.е. . Спрос при этих значениях цен является эластичным: спрос на товар падает быстрее, чем растут на нее цены.

Какие можно дать рекомендации? Если цена единицы продукции составит 100 ден. ед., то спрос будет неэластичным и можно повысить цену продукции, выручка при этом будет расти. При стоимости 225 ден. ед. спрос является неэластичным. В данном случае целесообразно рассмотреть предложения о снижении цены, выручка будет расти в результате увеличения спроса на продукцию.

15.3. Применение производной для функции, заданной таблично

В экономической практике все количественные изменения какого-либо признака (прибыли, числа продаж, затрат на организацию производства) компонуются и представляются таблицей. Для более наглядного обозрения процесса привлекают графики и диаграммы. Рассмотрим возможности дифференциального исчисления для описания функции, заданной таблично.

Проведем математическое исследование экономической задачи по тому же плану, который мы обозначили в предыдущей главе.

1 Область допустимых значений аргумента и область значений функции. Точки разрыва.

2. Точки пересечения с осями координат.

3. Интервалы возрастания – убывания, точки экстремумов.

4. Интервалы выпуклости – вогнутости, точки перегиба.

Такие характеристики, как симметрия и асимптоты мы опустим, ввиду ограниченности и неотрицательности временного интервала, на котором рассматривается любая экономическая задача. Коротко осветим все особенности указанных пунктов, для функции, заданной таблично.

Итак, пусть функция задана таблицей.

Янв.	Февр.	Март	Апр.	Май	Июнь	Июль	Авг.	Сент.	Окт.	Нояб.	Дек.
9,1	11,2	–	6,4	3,1		2,6	3,1	2,0	–1,2	–3,1

1. Областью ее определения является перечень всех значений аргумента Х [1, 12] месяцев, а могут быть кварталы, годы и т.д. Область значений функции – от самого малого до самого большого Y Î [–3,1; 11,2] Это, как правило, деньги, например – прибыль. Точками разрыва являются точки, где отсутствует информация. Об этом говорит прочерк (март). Заменять прочерк нулем нельзя: март может быть нерабочим месяцем, где прибыль равна нулю, либо настолько выдающимся, что о ней лучше умолчать (рис. 15.1).

Рис. 15.1

2. Точки пересечения с осью абсцисс найти легко – это точки, где у = 0 или меняет свой знак. В нашем случае это июнь, и промежутки сентябрь – октябрь, ноябрь – декабрь. Эти точки называются корнями функции. Точки пересечения с осью ОY специального названия не имеют. В экономических таблицах – это остаток на 1 января, плановая составляющая на каждый месяц, либо другая информативная цифра, с которой в дальнейшем идет сравнение.

3. Интервалы возрастания-убывания и точки экстремумов. Напомним, что функция называется возрастающей, если большему значению Х соответствует большее значение Y и убывающей в противном случае. Точки, отделяющие интервал возрастания от интервала убывания называются точками максимума, и минимума, если они разделяют убывание от возрастания. Для простого ответа на этот вопрос достаточно внимательно посмотреть на таблицу. Для более детального используем численную производную , где D x – приращение аргумента и D y – приращение функции. Его находят как разность значений, стоящих в соседних клетках. Их называют разностями первого порядка, а экономисты – абсолютным или цепным приростом. Если разности положительны, то и прирост – тоже, и функция будет возрастающей. Если разности отрицательны, то убывающей. Если прирост разделить на время – получим скорость прироста за месяц, квартал, год, день. Это и будет первая производная.

В нашем случае с января по февраль наблюдалось возрастание прибыли, с апреля по июнь – убывание, с июня по август – также незначительное возрастание, а потом – провал, хотя в декабре удалось «выйти в плюс». Наиболее удачным месяцем был февраль – максимальная прибыль, наиболее неудачным – ноябрь, где был минимум объема выпуска продукции.

4. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба характеризуют ускорение процесса. За них отвечает вторая производная, и, следовательно, вторые конечные разности. Если первые разности оценить легко, то для вторых необходим дополнительный расчет, результаты которого желательно свести в таблицу.

Рассмотрим следующий пример, в котором будем использовать как привычные для экономистов оценки, так и численные производные.

Пример 15.6. Предприятие по плану выпускает продукцию на 600 млн. руб. в год. Плановый показатель определен как 50 млн. руб. в месяц. Фактический объем продукции составил 621,65млн. руб. Данные по факту выпускаемой продукции приведены в таблице. 1) Рассчитать процент выполнения плана по месяцам, кварталам, году. 2) Сделать вывод, какой период оказался наиболее успешным и какой – неудачным.

Дата добавления: 2014-01-04