Функции многих переменных

Лекция 16.

ПЛАН

1. Введение.

2. Функция двух переменных. Способы задания. Область определения.

3. Приращения функции: частное и полное.

4. Непрерывность.

5. Частные производные первого порядка

6. Дифференциал

7. Заключение.

16.1. Введение

Очень немногие процессы зависят от одной переменной. Жизнь многогранна и зависит от многих факторов. Например, площадь прямоугольника S является функцией его ширины x и длины y, объем параллелограмма V – ширины x, длины y и высоты z и т.д. В первом случае мы имеем дело с функцией двух переменных, во втором – трех переменных. Нетрудно привести примеры, когда в определяющее число факторов будут входить четыре и большее число переменных. Функцию одной переменной мы изучили достаточно полно, перейдем теперь к функции двух переменных.

16.2. Функция двух переменных. Способы задания.
Область определения

Определение 16.1. Если каждой паре (х, у) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z является функцией от x и y в области D.

Символически функция двух переменных обозначается так:

.

Как и функция одной переменной она может быть задана аналитически, таблично и графически. Переход от одного способа задания к другому осуществляется по тем же правилам, что и для функции одной переменной.

Пусть функция задана формулой . Составим для нее таблицу значений, в первой строке которой будут находиться значения х, а в первом столбце – значения у. Выберем произвольные значения для х и у, а z получается согласно заданному правилу.

x y	0,1	0,2	0,3	0,4
	0,2	0,4	0,6	0,8
	1,2	1,4	1,6	1,8
	2,2	2,4	2,6	2,8
	3,2	3,4	3,6	3,8
	4,2	4,4	4,6	4,8

Для того чтобы построить график этой функции нужно из каждой точки М (х,у) плоскости ХОY поднять перпендикуляр z и потом объединить полученные точки аппликат. Следует учесть, что графическое изображение функции двух переменных в трехмерном декартовом базисе в общем случае представляет некоторую поверхность. В лекции 8 мы показывали, что построение линии «по точкам» страдает приближенностью и даже ошибочностью, потому что не может учесть такие важные точки, как разрывы, экстремумы и т.д. Поэтому если надо построить график поверхности, решают вопрос в общем виде, определив ее тип, а потом переходят к построению.

Если на плоскости самая простая и самая изученная линия – это прямая, то наиболее простая поверхность в пространстве – это плоскость, уравнение которой в общем виде записывается так:

. (16.1)

Разделив обе части равенства на D, получим равносильное уравнение

, (16.2)

где , . Его называют уравнением плоскости «в отрезках».

По полученному уравнению (16.2) легко изобразить плоскость в декартовой системе координат. Найдем точки ее пересечения с осями координат: с осью ОХ: , , с осью ОY: , , и с осью ОZ: , . Соединим полученные точки, продолжая их во все стороны, и получим изображение плоскости.

Для нашего случая , , , . Построим эту плоскость по точкам

Рис. 16.1

В разделе «Аналитическая геометрия» мы также изучили кривые второго порядка – окружность, эллипс, гиперболу и параболу. В трехмерном пространстве они перешли в сферу, эллипсоид, гиперболоид (однополостный и двуполостный) и параболоид. В сечении этих тел плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются все те же окружность, эллипс и т.д. Но на этом дело не закончилось. Кривые, вырвавшись в трехмерное пространство, создали эллиптический гиперболоид, гиперболический параболоид, конические и цилиндрические поверхности. Перечень поверхностей второго порядка и их графики приведены в приложении 1. Вглядитесь в их уравнения и постарайтесь понять логику их названий.

Как и в случае одной переменной, функция двух переменных существует не при любых значениях х и у.

Определение 16.2. Совокупность пар значений (х, у), при которых определяется функция , называется областью определения или областью существования этой функции.

Область определения наглядно иллюстрируется геометрически, как совокупность точек, принадлежащих плоскости ХОY. Именно она называется областью определения функции. В дальнейшем мы будем рассматривать области, ограниченные некоторыми линиями. Эти линии называются границами области. Точки, не лежащие на границе, называют внутренними точками области. Область, состоящая только из внутренних точек, называется незамкнутой, или открытой. Если к области относятся и точки границы, то ее называют замкнутой. Область называется ограниченной, если существует такое положительное число С, что расстояние любой точки плоскости от начала координат О (0,0) меньше С, т.е. .

Пример 16.1. Найти область определения функции .

Решение. Для того чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т.е. х и у должны удовлетворять неравенству

, или .

Все точки, удовлетворяющие этому неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга (рис. 16.2).

Рис. 16.2 Рис. 16.3

Пример 16.2. Найти область определения функции .

Решение Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно выполняться неравенство , или . Ему подчиняются точки, лежащие выше прямой , не включая саму прямую (рис. 16.3).

Аналогично вводятся определения функции трех, четырех и большего числа переменных и области их допустимых значений. Так, для функции трех переменных областью определения может служить некоторое объемное тело, ограниченное или неограниченное. Для функции четырех переменных такой геометрической интерпретации уже не существует. В общем виде функция п переменных записывается так: и область ее определения находится по общим правилам.

16.3. Приращения функции: частное и полное

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой области D плоскости ХOY. Поскольку х и у независимые переменные, они могут получать приращения независимо друг от друга. В зависимости от полученных приращений приращения будут отличаться друг от друга.

Так, если переменная х получает приращение и становится равной , а переменная у остается постоянной, то приращение функции

(16.3)

называется частным приращением функции по переменной х и обозначается символом .

Если функция получает приращение только по переменной у, а х остается постоянным, то его называют частным приращением по переменной у и обозначают символом

. (16.4)

Полное приращение функции, связанное с приращением обоих аргументов, определится из формулы

. (16.5)

Будет ли верно равенство , т.е. равна ли сумма частных приращений полному приращению функции? Рассмотрим это на примере.

Пример 16.3. Найти полное и частные приращения функции при переходе от точки М (1; 2) в точку K (1,2; 2,3), если .

Решение. Приращения аргументов находятся как разность значений конечной и начальной точек: и . Найдем все приращения по формулам (16.3 - 5):

;

;

.

Видно, что , т.е. полное приращение функции в общем случае не равно сумме её частных приращений.

Понятие приращений функции тесно связано с понятием предела функции в точке. В лекции 9 мы рассматривали предел функции одной переменной и говорили, что число А называется пределом функции в точке , если для любого заданного числа найдется такое , что все значения функции у попадут в d-окрестность прямой , как только аргумент х попадет в e-окрестность точки . Логично предположить, что и предел функции двух переменных будет вводится так же, но под e-окрестностью точки понимается не интервал (, а совокупность точек, удовлетворяющих условию и лежащих внутри круга радиуса с центром в точки .

Определение 16.3. Число А называется пределом функции при стремлении точки М к точке , если для любого числа найдется такое число , что для всех точек из круга выполняется неравенство , или в символической записи:

.

Определение 16.4. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, и имеет предел, равный значению функции в этой точке, т.е. , при стремлении к точке произвольным образом.

На языке приращений то же определение звучит так:

Определение 16.5. Функция называется непрерывной в точке если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е.

,

или

.

Если хотя бы одно из требований этих определений не выполнено – функция называется разрывной в рассматриваемой точке, однако классификация этих разрывов сложнее, чем для функции одной переменной.

Свойства непрерывных функций одного аргумента переходят на функцию двух и большего числа переменных:

1. Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то внутри этой области найдется хотя бы одна точка, в которой функция будет достигать своего наибольшего М и наименьшего m значения (теорема о наибольшем и наименьшем значениях).

2. Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D и если М и m ее наибольшее и наименьшее значения, то для любого найдется такая точка , значение в которой будет равно (теорема о промежуточных значения).

3. Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D и принимает как положительные так и отрицательные значения, то внутри этой области найдется хотя бы одна точка такая, в которой функция будет равна нулю (теорема о корнях функции).

16.4. Частные производные первого порядка

В предыдущем параграфе мы выяснили, что функция двух переменных имеет различные частные приращения. Очевидно, что и производные функции, определяющие скорость изменения функции по разным аргументам, будут также отличаться друг от друга.

Определение 16.6. Частной производной по х от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении последнего к нулю.

Частная производная по х обозначается одним из символов

, , .

Согласно определению

. (16.6)

Определение 16.7. Частной производной по у от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении последнего к нулю.

Частная производная по у обозначается символами

, , , .

Согласно определению

. (16.7)

Из этих определений сразу следует правило, по которому следует вычислять частную производную.

Правило вычисления частной производной. Частная производная вычисляется от функции по переменной х в предположении, что у – постоянная. Частная производная вычисляется по переменной у в предположении, что х – постоянная.

При вычислении частных производных работают все приемы вычислений производных сложных функций (вспомним правило цепочки).

Пример 16.4. Вычислить частные производные функции

Решение.

– здесь играет роль постоянного множителя,

– в данном случае числовой множитель, а производную от вычисляем «по цепочке».

Пример 16.5. Вычислить частные производные функции .

Решение.

, потому что у равен постоянной, и мы использовали формулу производной степенной функции .

, потому что , и мы используем формулу производной показательной функции .

Пример 16.6. Вычислить частные производные функции трех переменных .

Решение.

, , .

Механический или кинетический смысл частных производных остается прежним: они характеризуют скорость изменения функции по переменным х и у отдельно. С геометрией чуть сложнее. Для функции одной переменной производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси OХ.

Для функции двух переменных касательная «переходит» в касательную плоскость к поверхности, определяемой уравнением . Любая прямая, проходящая через точку касания, и лежащая в этой плоскости, будет касательной к поверхности. Выберем из них такую, чтобы ее проекция на плоскость ХОY была параллельна оси ОХ. В этом случае у будет величиной постоянной и тангенс угла наклона этой касательной к положительному направлению оси ОХ будет равен частной производной . Если рассмотреть другую касательную, проекция которой на плоскость ХОY параллельна оси ОY, то в этом случае х будет постоянной. Тангенс угла наклона этой касательной к положительному направлению оси ОY будет равен значению частной производной в данной точке (рис. 16.4).

Рис. 16.4

Для функций, содержащих большее число переменных, геометрическую интерпретацию частных производных дать нельзя.

16.5. Дифференциал

Возникает вопрос, а не существует ли одной, общей производной для функции двух или больше аргументов? Нет, не существует. Но общее изменение функции можно охарактеризовать с помощью полного дифференциала , как главной части приращения функции. Для функции одной переменной дифференциал равен . Для функции двух переменных логично ожидать сумму «частных дифференциалов». Строгое доказательство этого утверждения можно найти в рекомендуемой литературе. Мы ограничимся определением и покажем его применение для решения задач.

Определение 16.8. Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными по х и у. Полным дифференциалом называется сумма произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных, т.е.

. (16.8)

Это выражение является аналогом формулы для дифференциала функции одной переменной. Добавлено новое слагаемое, и простая производная функции по одной переменной х заменена частными производными по х и у. Для функции трех переменных будет тройная сумма.

Напомним, что дифференциал функции приближенно равен ее приращению: . Поэтому значение функции в точке можно определить из приближенного равенства:

, (16.9)

где dx и dy – приращения аргументов х и у соответственно.

Пример 16.7. Найти полный дифференциал и полное приращение dz и для функции , если , , , .

Решение. Найдем значения

(3 и .

по таблице логарифмов или при помощи калькуляторов. Определим приращение функции

.

Найдем дифференциалы аргументов:

, .

Тогда

,

и, окончательно, получаем

.

Сравним приращение и дифференциал .

Приближенно оценим значение по формуле (16.9):

.

Найдем относительную погрешность вычислений:

,

что говорит о достаточной степени точности проведенных вычислений.

В разных точках функция имеет различные значения частных производных, поэтому дифференциалы будут разными. По ним можно судить о степени возрастания и убывания функции.

16.6. Градиент

Вопрос о существовании единой производной для функции двух переменных не переставал волновать пытливое человечество. Но переменные х и у не могли объединиться, поэтому задачу сформулировали по-другому: если в каждой точке функция меняется по двум и больше аргументам, то в каком направлении ее изменение будет наибольшим?

Направление, как известно, задается вектором. В общем виде вектор может быть записан так:, где – координаты вектора в декартовом базисе, |– модуль вектора,

, ,

– направляющие косинусы, сумма их квадратов равна единице. Это координаты единичного направляющего вектора для вектора . Его употребляют в вычислениях, когда важно именно направление, а не длина вектора.

Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой области D и точке , принадлежит этой функции. Проведем из точки М вектор . Выражение вида

(16.10)

называется производной функции в направлении вектора . Она позволяет найти скорость изменения данной функции в направлении вектора .

Рассмотрим вектор, координаты которого равны частным производным функции в некоторой точке . Этот вектор называется градиентом функции в данной точке.

. (16.11)

Сравнение этих формул показывает, что производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно модулю градиента в данной точке. Поэтому вектор градиент показывает направление наибольшего возрастания функции в данной точке, а его модуль – скорость наибольшего возрастания.

Пример 16.8. Дана функция . Найти производную в точке
М (1, 1, 1) в направлении вектора и вектора градиента. Сравнить скорости изменения функции в этих направлениях.

Решение. Для того, что бы найти производную в направлении вектора, найдем вначале его модуль и направляющие косинусы.

, , , .

Найдем частные производные данной функции в точке :

, , .

Производная функции в направлении вектора :

.

Составим вектор градиент по найденным частным производным в точке М и найдем его модуль:

,

,

что и следовало ожидать.

Если функция есть функция двух переменных, то вектор

в точке лежит в плоскости ХОY и перпендикулярен проекции сечения поверхности плоскостью , параллельной плоскости ХОY. (рис. 16.5).

Рис. 16.5

16.7. Заключение

Сделаем первые выводы по этой теме.

1. Закон изменения одной переменной U в зависимости от двух и более независимых друг от друга переменных х, у и т.д. называется функцией многих переменных.

2. Изменения U по разным переменным различаются друг от друга и характеризуются частными производными. Частные производные показывают скорость изменения в своем направлении.

3. Скорость изменения в произвольном направлении характеризуется производной по направлению вектора .

4. Направление, в котором скорость имеет наибольшее значение, задается вектором, имеющим специальное название градиент. Его координаты равны значению частных производных в данной точке, а модуль – скорости изменения.

Дата добавления: 2014-01-04