Критерий Сильвестра знакоопределенности симметричной матрицы. Достаточное условие локального экстремума функции многих переменных

Необходимое условие локального экстремума

Определение локального экстремума функции многих переменных

План

1. Определение локального экстремума функции многих переменных
2. Необходимое условие локального экстремума
3. Критерий Сильвестра знакоопределенности симметричной матрицы. Достаточное условие локального экстремума функции многих переменных

Пусть, - открытое,.

Определение 1. Говорят, что в точке функция имеет локальный максимум (локальный минимум), если такой, что

.

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума.

Пример. Функция. Эта функция. Если, то для имеем:, а. Тогда для,:

,

т.е. в точке по определению функция имеет локальный максимум.

Теорема 1 (Ферма). Пусть функция, - открытое, имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке. Тогда (т.е.).

Определение 2. Точки множества, где функция дифференцируема и ее производная равняется нулю, называются стационарными точками функции.

Пример. Найти точки функции, подозрительные на экстремум. Поскольку данная функция является везде дифференцированной на, то подозрительными на экстремум будут точки, где производная функции является нулевой: все частные производные равны нулю. Поэтому для решения задачи найдем частные производные функции:

,,

приравнивая их к 0, получим систему:

.

Таким образом, подозрительными на экстремум являются четыре точки: (2,1), (1,2), (-1,-2), (-2,-1). Чтобы сделать вывод о том, будет ли там действительно экстремум, надо иметь достаточные условия.

Теорема 2 (критерий Сильвестра знакоопределенности симметричной матрицы). Для того, чтобы симметричная матрица была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы определители главных подматриц этой матрицы были положительными. Для того, чтобы симметричная матрица была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки определителей главных подматриц этой матрицы изменялись от шага к шагу, при этом.

Пример. Пусть

.

Главные подматрицы этой матрицы - это

,,,

а их определители соответственно:,,. Таким образом, данная матрица является положительно определенной.

Определение 3. Говорят, что функция, - открытое, принадлежит классу и обозначают:, если эта функция имеет все частные производные второго порядка, и эти производные непрерывные везде на.

Пусть точка является подозрительной на экстремум для функции. Обозначим. Поскольку все производной второго порядка непрерывные на, то смешанные производные являются равными (по теореме из лекции 26):. Тогда матрица частных производных второго порядка имеет вид:

.

Теорема 3 (достаточное условие локального экстремума функции). Пусть,, - открытое, точка - стационарная точка функции, - матрица частных производных второго порядка. Тогда имеет в точке локальный экстремум, если матрица знакоопределена, а именно: локальный минимум, если положительно определена; локальный максимум, если отрицательно определена. Если матрица не является знакоопределенной, то экстремума в точке нет.

Пример. В одном из предыдущих примеров для функции были найдены точки, подозрительные на экстремум: (2,1), (1,2), (-1,-2), (-2,-1). Проверим некоторые из них, действительно ли они являются точками экстремума. Сначала найдем производные второго порядка:

,

Пусть. Построим матрицу производных второго порядка для этой точки:

.

Полученная матрица является положительно определенной, поскольку,, что говорит о том, что в точке данная функция имеет локальный минимум.

Дата добавления: 2014-01-04