Критерій Сильвестру знаковизначеності симетричної матриці. Достатня умова локального екстремума функції багатьох змінних

Необхідна умова локального екстремума

Визначення локального екстремума функції багатьох змінних

План

Лекція 27. Локальний екстремум функції багатьох змінних

Вопросы

1. Как определяется локальный минимум (локальный максимум) функции многих переменных?

2. Что такое локальный экстремум функции многих переменных?

3. Может ли функция многих переменных иметь несколько локальных экстремумов?

4. Какие точки области определения функции многих переменных являются подозрительными на экстремум?

5. Необходимое условие локального экстремума.

6. Какие точки области определения функции называются стационарными точками функции?

7. Какая матрица называется положительно (отрицательно) определенной?

8. Критерий Сильвестру знакоопределенности симметричной матрицы.

9. Достаточное условие локального экстремума функции многих переменных.

1. Визначення локального екстремума функції багатьох змінних
2. Необхідна умова локального екстремума
3. Критерій Сильвестру знаковизначеності симетричної матриці. Достатня умова локального екстремума функції багатьох змінних

Нехай, - відкрита,.

Визначення 1. Кажуть, що в точці функція має локальний максимум (локальний мінімум), якщо така, що

.

Точки локального максімума і мінімума називаються точками локального екстремума.

Приклад. Функція. Ця функція. Якщо, то для маємо:, а. Тоді для,:

,

тобто в точці за визначенням функція має локальний максимум.

Теорема 1 (Ферма). Нехай функція, - відкрита, має в точці локальний екстремум і диференційована в цій точці. Тоді (тобто).

Визначення 2. Точки множини, де функція диференційована і її похідна дорівнює нулю, називаються стаціонарними точками функції.

Приклад. Знайти точки функції, підозрілі на екстремум. Оскільки подана функція є скрізь диференційованою на, то підозрілими на екстремум є точки, де похідна функції є нульовою: всі частинні похідні дорівнюють нулю. Тому для рішення задачі знайдемо частинні похідні функції:

,,

прирівнюючи їх до 0, отримаємо систему:

.

Таким чином, підозрілими на екстремум є чотири точки: (2,1), (1,2), (-1,-2), (-2,-1). Щоб зробити висновок про те, чи буде там дійсно екстремум, требо мати достатні умови.

Теорема 2 (критерій Сильвестру знаковизначеності симетричної матриці). Для того, що симетрична матриця була додатно визначеною, необхідно ідостатньо, щоб визначники головних підматриць цієї матриці були додатними. Для того, що симетрична матриця була від’ємно визначеною, необхідно ідостатньо, щоб знаки визначників головних підматриць цієї матриці змінювалися від кроку до кроку, то того ж.

Приклад. Нехай

.

Головні підматриці цієї матриці – це

,,,

а їх визначники відповідно:,,. Таким чином, подана матриця є додатно визначеною.

Визначення 3. Кажуть, що функція, - відкрита, належить класу і позначають:, якщо ця функція має всі частинні похідні другого порядку, і ці похідні неперервні скрізь на.

Нехай точка є підозрілою на екстремум для функції. Позначимо. Оскільки всі похідні другого порядку неперервні на, то мішані похідні є рівними (за теоремою з лекції 26):. Тоді матриця частинних похідних другого порядку має вигляд:

.

Теорема 3 (достатня умова локального екстремума функції). Нехай,, - відкрита, точка - стаціонарна точка функції, - матриця частинних похідних другого порядку. Тоді має у точці локальний екстремум, якщо матриця знаковизначена, а саме: локальний мінімум, якщо додатно визначена; локальний максимум, якщо від’ємно визначена. Якщо матриця не є знаковизначеною, то екстремума в точці немає.

Приклад. В одному з попередніх прикладів для функції були знайдені точки, підозрілі на екстремум: (2,1), (1,2), (-1,-2), (-2,-1). Перевіримо для деяких з них, чи дійсно вони є точками екстремума. Спочатку знайдемо похідні другого порядку:

,

Нехай. Побудуємо матрицю похідних другого порядку для цієї точки:

.

Отримана матриця є додатно визначеною, оскільки,, що говоре про те, що в точці подана функція має локальний мінімум.

Дата добавления: 2014-01-04