Питання. Зведення невласного інтегралу ІІ роду до невласного інтегралу І роду

Інтеграл за значенням Коші. Порівняння збіжності інтегралу за значенням Коші і невласного інтегралу

Зведення невласного інтегралу ІІ роду до невласного інтегралу І роду

План

Вопросы

1. Можно ли НИ ІІ рода свести к НИ І рода? Как именно?

2. Что такое интеграл по значению Коши?

3. В чем заключается смысл определения НИ по Коши?

4. Как определяется интеграл по Коши для четной функции?

5. Как определяется интеграл по Коши для нечетной функции?

1. Зведення невласного інтегралу ІІ роду до невласного інтегралу І роду
2. Інтеграл за значенням Коші. Порівняння збіжності інтегралу за значенням Коші і невласного інтегралу

Нехай - НІ ІІ роду, - особлива точка підінтегральної функції. Зробимо заміну при обчисленні НІ ІІ роду:. В результаті отримаємо:

Таким чином, існування рівносильно існуванню, а тому збіжність (розбіжність) НІ ІІ роду рівносильна збіжності (розбіжності) НІ І роду. Якщо один з них збігається, то

.

Нехай функція визначена на. Припустимо, що для т. - особлива. Тоді, відповідно до лекції 39, маємо:

.

Якщо не існує хоча б одна з цих границь, то НІ ІІ роду є розбіжним. Тут - незалежні одне від одного.

Коші запропонував варіант, коли:

.

При такому обчисленні вже не є незалежними – вони рівні. Такий спосіб обчислення не є загальним. Можливі такі випадки, що границі, окремо не існують, але існує границя суми. Тоді така границя називається головним значенням за Коші невластивого інтегралу (чи інтегралом за значенням Коші) і позначається

.

Нехай визначена на, а НІ І роду

де незалежно одне від одного, розбігається. Але може статися, що якщо взяти симетричний проміжок, тобто, то вона буде існувати. Тоді ця границя називається НІ І роду за Коші і позначається:

.

Приклад. Розглянемо НІ І роду. У класичному визначенні НІ І роду він є розбіжним, оскільки:

не існує.

Але

.

.

Доцільність такого обчислення для розглянутого приклада стає очевидною з рис.1.

Рис.1.

Приклад. Розглянемо, де. Цей НІ ІІ роду, як було зясовано в попередній лекції, розбігається. Обчислимо його значення за Коші:

Таким чином, за Коші інтеграл є збіжним.

Приклад. Інтеграл, де, є розбіжним в класичному сенсі. Але

Твердження 1. Якщо функція визначена на і є непарною, то

,

а якщо - парна, то

.

Доказ. Нехай визначена на і є непарною. Тоді:

Аналогічно для парної функції.

1. Чи можна НІ ІІ роду звести до НІ І роду? Як саме?

2. Що таке інтеграл за значенням Коші?

3. У чому полягає сенс визначення НІ за значенням Коші?

4. Як визначається інтеграл за значенням Коші для парної функції?

5. Як визначається інтеграл за значенням Коші для непарної функції?

Дата добавления: 2014-01-04